Übungsaufgaben zur Algebra, Serie 4 SoSe 2018: Unterschied zwischen den Versionen
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=Aufgabe 4.4= | =Aufgabe 4.4= | ||
− | Es sei <math>\mathbb{N}</math> die Menge der natürlichen Zahlen ohne die Zahl <math>0</math>. Wir definieren <math>\mathbb{ | + | Es sei <math>\mathbb{N}</math> die Menge der natürlichen Zahlen ohne die Zahl <math>0</math>. Wir definieren <math>\mathbb{B}:= \mathbb{N} \times \mathbb{N}</math>. Auf <math>\mathbb{B}</math> definieren wir die folgende Relation quotientengleich <math>=_q</math>: <math>\forall (a,b), (c,d) \in \mathbb{B}: (a,b)=_q(c,d) :\Leftrightarrow ad=bc</math>. Beweisen Sie <math>=_q</math> ist eine Äquivalenzrelation. |
=Aufgabe 4.5= | =Aufgabe 4.5= | ||
− | + | Es sei <math>\mathbb{Q}^+</math> die Menge aller Äquivalenzklassen <math>\overline{(a,b)}</math> in die <math>\mathbb{B}</math> durch <math>=_q</math> eingeteilt wird. Wir definieren <math>\overline{(a,b)} \odot \overline{(c,d)} := \overline{(ac,bd)}</math>. Beweisen Sie: <math>[\mathbb{Q}^+, \odot]</math> ist abelsche Gruppe. | |
=Aufgabe 4.6= | =Aufgabe 4.6= | ||
− | + | Beweisen Sie: Die multiplikative Restklassengruppe modulo <math>7</math> ist zyklisch. Nennen Sie alle erzeugenden Elemente dieser Gruppe. | |
=Aufgabe 4.7= | =Aufgabe 4.7= | ||
− | + | Nennen Sie eine multiplikative zyklische Gruppe, die genau vier erzeugende Elemente hat. | |
=Aufgabe 4.8= | =Aufgabe 4.8= | ||
+ | Wir betrachten <math>[\mathbb{R}, +]</math>, die additive Gruppe der reellen Zahlen. Unter <math>a^n, n\in \mathbb{Z}</math> verstehen wir somit das <math>n-</math>malige Aufaddieren von <math>a \in \mathbb{R}</math>. <math>a^{-1}</math> ist damit das inverse Element von <math>a</math> bzgl. der Addition reeller Zahlen.<br /> | ||
+ | Mittels dieser Potenzierung definieren wir für den <math>\mathbb{R}^2</math>: <math>\forall (a,b) \in \mathbb{R}^2, \forall n \in \mathbb{Z}: (a,b)^n:=(a^n,b^n)</math>.<br /> | ||
+ | Es sei <math>V_{12}:= \left \{(\sqrt{2},2)^n \vert n \in \mathbb{Z} \right \}</math>. Beweisen Sie, dass <math>\left [V_{12},\oplus \right ]</math> eine abelsche Gruppe ist. Unter <math>\oplus</math> verstehen wir dabei die übliche additive Verknüpfung von Elementen des <math>\mathbb{R}^2</math>. | ||
=Aufgabe 4.9= | =Aufgabe 4.9= | ||
− | + | Beweisen Sie: Jede zyklische Gruppe ist abelsch. | |
=Aufgabe 4.10= | =Aufgabe 4.10= | ||
− | + | Es sei <math>[\mathbb{Z}, +]</math> die Gruppe der ganzen Zahlen bezüglich der üblichen Addition auf <math>\mathbb{Z}</math>. <math>[2\mathbb{Z}, +]</math> sei die Gruppe der geraden Ganzen Zahlen bzgl. der üblichen Addition auf <math>\mathbb{Z}</math>. Wir definieren eine Abbildung <math>\varphi</math> von <math>\mathbb{Z}</math> auf <math>2\mathbb{Z}</math>: <math>\forall a \in \mathbb{Z}: \varphi (a):=a+a</math>. <br /> | |
+ | (a) Beweisen Sie: <math>\varphi</math> ist eine Bijektion<br /> | ||
+ | (b) <math>\forall a,b \in \mathbb{Z}: \varphi (a+b) = \varphi(a) + \varphi(b)</math>. | ||
<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben ---> | <!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben ---> |
Aktuelle Version vom 13. Mai 2018, 12:40 Uhr
Aufgabe 4.1Wir betrachten auf der Menge der natürlichen Zahlen, die Relationen Teiler und echter Teiler. Aufgabe 4.2Die Gleichung Aufgabe 4.3Es sei Aufgabe 4.4Es sei Aufgabe 4.5Es sei Aufgabe 4.6Beweisen Sie: Die multiplikative Restklassengruppe modulo Aufgabe 4.7Nennen Sie eine multiplikative zyklische Gruppe, die genau vier erzeugende Elemente hat. Aufgabe 4.8Wir betrachten Es sei Aufgabe 4.9Beweisen Sie: Jede zyklische Gruppe ist abelsch. Aufgabe 4.10Es sei |