Übungsaufgaben zur Algebra, Serie 4 SoSe 2018: Unterschied zwischen den Versionen
*m.g.* (Diskussion | Beiträge) (→Aufgabe 4.7) |
*m.g.* (Diskussion | Beiträge) (→Aufgabe 4.10) |
||
(3 dazwischenliegende Versionen von einem Benutzer werden nicht angezeigt) | |||
Zeile 32: | Zeile 32: | ||
=Aufgabe 4.8= | =Aufgabe 4.8= | ||
+ | Wir betrachten <math>[\mathbb{R}, +]</math>, die additive Gruppe der reellen Zahlen. Unter <math>a^n, n\in \mathbb{Z}</math> verstehen wir somit das <math>n-</math>malige Aufaddieren von <math>a \in \mathbb{R}</math>. <math>a^{-1}</math> ist damit das inverse Element von <math>a</math> bzgl. der Addition reeller Zahlen.<br /> | ||
+ | Mittels dieser Potenzierung definieren wir für den <math>\mathbb{R}^2</math>: <math>\forall (a,b) \in \mathbb{R}^2, \forall n \in \mathbb{Z}: (a,b)^n:=(a^n,b^n)</math>.<br /> | ||
+ | Es sei <math>V_{12}:= \left \{(\sqrt{2},2)^n \vert n \in \mathbb{Z} \right \}</math>. Beweisen Sie, dass <math>\left [V_{12},\oplus \right ]</math> eine abelsche Gruppe ist. Unter <math>\oplus</math> verstehen wir dabei die übliche additive Verknüpfung von Elementen des <math>\mathbb{R}^2</math>. | ||
=Aufgabe 4.9= | =Aufgabe 4.9= | ||
− | + | Beweisen Sie: Jede zyklische Gruppe ist abelsch. | |
=Aufgabe 4.10= | =Aufgabe 4.10= | ||
− | + | Es sei <math>[\mathbb{Z}, +]</math> die Gruppe der ganzen Zahlen bezüglich der üblichen Addition auf <math>\mathbb{Z}</math>. <math>[2\mathbb{Z}, +]</math> sei die Gruppe der geraden Ganzen Zahlen bzgl. der üblichen Addition auf <math>\mathbb{Z}</math>. Wir definieren eine Abbildung <math>\varphi</math> von <math>\mathbb{Z}</math> auf <math>2\mathbb{Z}</math>: <math>\forall a \in \mathbb{Z}: \varphi (a):=a+a</math>. <br /> | |
+ | (a) Beweisen Sie: <math>\varphi</math> ist eine Bijektion<br /> | ||
+ | (b) <math>\forall a,b \in \mathbb{Z}: \varphi (a+b) = \varphi(a) + \varphi(b)</math>. | ||
<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben ---> | <!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben ---> |
Aktuelle Version vom 13. Mai 2018, 11:40 Uhr
Aufgabe 4.1Wir betrachten auf der Menge der natürlichen Zahlen, die Relationen Teiler und echter Teiler. Aufgabe 4.2Die Gleichung ist eine Linearkombination der Gleichung , wenn eine Zahl derart existiert,
dass Aufgabe 4.3Es sei die Menge aller Gleichungen vom Typ . sei die Menge aller Äquivalenzklassen , in die durch die Äquivalenzrelation Gleichung a ist Linearkombination von Gleichung b eingeteilt wird. Wir definieren auf die folgende Operation : . Beweisen Sie: ist Gruppe. Aufgabe 4.4Es sei die Menge der natürlichen Zahlen ohne die Zahl . Wir definieren . Auf definieren wir die folgende Relation quotientengleich : . Beweisen Sie ist eine Äquivalenzrelation. Aufgabe 4.5Es sei die Menge aller Äquivalenzklassen in die durch eingeteilt wird. Wir definieren . Beweisen Sie: ist abelsche Gruppe. Aufgabe 4.6Beweisen Sie: Die multiplikative Restklassengruppe modulo ist zyklisch. Nennen Sie alle erzeugenden Elemente dieser Gruppe. Aufgabe 4.7Nennen Sie eine multiplikative zyklische Gruppe, die genau vier erzeugende Elemente hat. Aufgabe 4.8Wir betrachten , die additive Gruppe der reellen Zahlen. Unter verstehen wir somit das malige Aufaddieren von . ist damit das inverse Element von bzgl. der Addition reeller Zahlen. Es sei . Beweisen Sie, dass eine abelsche Gruppe ist. Unter verstehen wir dabei die übliche additive Verknüpfung von Elementen des . Aufgabe 4.9Beweisen Sie: Jede zyklische Gruppe ist abelsch. Aufgabe 4.10Es sei die Gruppe der ganzen Zahlen bezüglich der üblichen Addition auf . sei die Gruppe der geraden Ganzen Zahlen bzgl. der üblichen Addition auf . Wir definieren eine Abbildung von auf : . |