Lösung von Aufgabe 3.9 SoSe 2018: Unterschied zwischen den Versionen
*m.g.* (Diskussion | Beiträge) (→Formulierungsschwächen) |
*m.g.* (Diskussion | Beiträge) (→Der Widerspruchsbeweis) |
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Irgendwelche nicht spezifizierte Objekte (etwa ein Kreis und eine Strecke) haben mehr als einen Punkt gemeinsam. Daraus folgt: Irgendwelche zwei Geraden sind identisch. | Irgendwelche nicht spezifizierte Objekte (etwa ein Kreis und eine Strecke) haben mehr als einen Punkt gemeinsam. Daraus folgt: Irgendwelche zwei Geraden sind identisch. | ||
====Der Beweis der Kontraposition==== | ====Der Beweis der Kontraposition==== | ||
− | Sie schreiben: Es existieren zwei Punkte <math>P_1</math> und <math>P_2</math> | + | Sie schreiben: Es existieren zwei Punkte <math>P_1</math> und <math>P_2</math> und zwei Geraden <math>g_1</math> und <math>g_2</math>.<br /> |
+ | Das sagt der Satz "Wenn zwei Geraden zwei Punkte gemeinsam haben, dann ... " jedoch nicht aus:<br /> | ||
+ | "Es gibt zwei Geraden, die zwei Punkte gemeinsam haben." ist mit dem Satz nicht gemeint. Der Satz meint: "Sollten zwei Geraden zwei punkte gemeinsam haben ... " bzw. "Falls zwei Geraden zwei Punkte gemeinsam haben ...". Sie dürfen damit den beweis nicht mit den folgenden Worten beginnen: "Es gibt zwei verschiedene Punkte, die auf zwei Geraden liegen." In diesem Fall hätten wir einen Existenzbeweis zu führen. Wir haben aber zu zeigen, dass unter der Bedingung, dass zwei Geraden zwei (verschiedene) Punkte gemeinsam haben, eben diese Geraden identisch sind.<br /> | ||
+ | Der Beginn des Beweises lautet also:<br /> | ||
+ | '''Wir gehen davon aus, dass zwei Geraden zwei verschiedene Punkte gemeinsam haben.'''<br /> | ||
+ | Oder anders formuliert:<br /> | ||
+ | '''Es seien <math>g_1</math> und <math>g_2</math> zwei Geraden, die zwei verschiedene Punkte <math>P_1</math> und <math>P_2</math> gemeinsam haben.'''<br /> | ||
+ | oder wenn wir mit den gemeinsamen Punkten beginnen wollen:<br /> | ||
+ | '''Es seien <math>P_1</math> und <math>P_2</math> zwei verschiedene Punkte, die die beiden Geraden <math>g_1</math> und <math>g_2</math> gemeinsam haben.'''<br /> | ||
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+ | |||
+ | ansonsten ist die Schlußfolgerung korrekt. | ||
+ | |||
+ | ====Der Widerspruchsbeweis==== | ||
+ | Hier geht alles drunter und drüber. Ausgangspunkt ist die ursprüngliche Implikation.<br /> | ||
+ | Wenn zwei Geraden <math>a</math> und <math>b</math> verschieden (nicht identisch) sind, dann haben sie nicht mehr als einen Punkt gemeinsam.<br /> | ||
+ | '''Voraussetzung:''' <math>a</math> und <math>b</math> sind nicht identisch.<br /> | ||
+ | |||
+ | '''Behauptung:''' Es gibt nicht mehr als einen Punkt, den <math>a</math> und <math>b</math> gemeinsam haben.<br /><br /> | ||
+ | |||
+ | Der Widerspruchsbeweis geht davon aus, dass die Vorauusetzung wahr, die Behauptung jedoch falsch ist.<br /> | ||
+ | Wir nehmen also an, dass die beiden Geraden <math>a</math> und <math>b</math> zwar verschieden sind, aber mehr als einen Punkt gemeinsam haben .... | ||
<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben ---> | <!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben ---> | ||
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[[Kategorie:Einführung_S]] | [[Kategorie:Einführung_S]] |
Aktuelle Version vom 10. Juni 2018, 16:10 Uhr
Aufgabe 3.9 SoSe 2018Die folgende Aussage möge wahr sein:
(a) Beweisen Sie den Satz, indem Sie seine Kontraposition beweisen. Lösung 1Kommentar --*m.g.* (Diskussion) 15:31, 10. Jun. 2018 (CEST):FormulierungsschwächenDie KontrapositionDie Kontraposition wurde prinzipiell richtig gebildet. Das rein formale Umkehren und Negieren passt jedoch mitunter nicht für eine korrekte Formulierung:
Korrekte Formulierung: Wenn zwei Geraden mehr als einen Punkt gemeinsam haben, dann sind sie identisch.
Der Beweis der KontrapositionSie schreiben: Es existieren zwei Punkte und und zwei Geraden und . Das sagt der Satz "Wenn zwei Geraden zwei Punkte gemeinsam haben, dann ... " jedoch nicht aus:
Der WiderspruchsbeweisHier geht alles drunter und drüber. Ausgangspunkt ist die ursprüngliche Implikation. Behauptung: Es gibt nicht mehr als einen Punkt, den und gemeinsam haben. Der Widerspruchsbeweis geht davon aus, dass die Vorauusetzung wahr, die Behauptung jedoch falsch ist. |