Lösung von Aufgabe 8.7: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | + | Das Innere eines Dreiecks ist der Schnitt dreier Halbebenen. Wir wissen nach einem bekannten Satz, dass eine Halbebene eine konvexe Punktmenge ist. Wir wissen nach einem zweiten bekannten Satz, dass die Schnittmenge zweier konvexer Punktmengen ebenfalls konvex ist. Also ist auch die Schnittmenge zweier Halbebenen eine konvexe Punktmenge. Diese neue konvexe Punktmenge geschnitten mit der dritten Halbebene ist folglich wieder eine konvexe Punktmenge. | |
| − | 1. AB,C+ ist konvex (Satz: Halbebene sind konvexe Punktmengen) | + | ==vorangegangene Diskussion== |
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| − | 4. AB,C+ geschnitten mit BC,A+ geschnitten mit AC,B+ ist konvex | + | |
| − | daraus folgt das Innere eines Dreiecks (AB,C+ geschnitten mit BC,A+ geschitten mit AC,B+) ist konvex.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 08:34, 15. Jul. 2010 (UTC) | + | 1) Das Innere eines Dreiecks ist der Durchschnitt dreier Halbebenen aA<sup>+</sup>, bB<sup>+</sup> und cC<sup>+</sup> |
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| + | - Vor.: Dreieck ABC | ||
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| + | - 2. BC,A+ ist konvex (Satz: Halbebene sind konvexe Punktmengen) | ||
| + | - 3. AC,B+ ist konvex (Satz: Halbebene sind konvexe Punktmengen) | ||
| + | - 4. AB,C+ geschnitten mit BC,A+ geschnitten mit AC,B+ ist konvex (Satz: Schnittmenge zweier konvexer Punktmengen ist konvex) | ||
| + | - daraus folgt das Innere eines Dreiecks (AB,C+ geschnitten mit BC,A+ geschitten mit AC,B+) ist konvex.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 08:34, 15. Jul. 2010 (UTC) | ||
Aktuelle Version vom 15. Juli 2010, 12:37 Uhr
Lösung--Schnirch 11:37, 15. Jul. 2010 (UTC)
Das Innere eines Dreiecks ist der Schnitt dreier Halbebenen. Wir wissen nach einem bekannten Satz, dass eine Halbebene eine konvexe Punktmenge ist. Wir wissen nach einem zweiten bekannten Satz, dass die Schnittmenge zweier konvexer Punktmengen ebenfalls konvex ist. Also ist auch die Schnittmenge zweier Halbebenen eine konvexe Punktmenge. Diese neue konvexe Punktmenge geschnitten mit der dritten Halbebene ist folglich wieder eine konvexe Punktmenge.
vorangegangene Diskussion
Mal wieder formlos:
1) Das Innere eines Dreiecks ist der Durchschnitt dreier Halbebenen aA+, bB+ und cC+ nach Principella 2) nach Satz IV.2: Halbebenen sind konvexe Punktmengen und 3) nach Satz IV.3: Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex also ist das Innere eines Dreiecks konvex.
Falls das ausreicht, wie muss ich das jetzt schreiben? --Nicola 17:32, 24. Jun. 2010 (UTC)
- Vor.: Dreieck ABC
- Beh:: Das Innere eines Dreiecks ist konvex
- 1. AB,C+ ist konvex (Satz: Halbebene sind konvexe Punktmengen) - 2. BC,A+ ist konvex (Satz: Halbebene sind konvexe Punktmengen) - 3. AC,B+ ist konvex (Satz: Halbebene sind konvexe Punktmengen) - 4. AB,C+ geschnitten mit BC,A+ geschnitten mit AC,B+ ist konvex (Satz: Schnittmenge zweier konvexer Punktmengen ist konvex) - daraus folgt das Innere eines Dreiecks (AB,C+ geschnitten mit BC,A+ geschitten mit AC,B+) ist konvex.--Frühling 08:34, 15. Jul. 2010 (UTC)
