Lösung von Aufg. 6.5P (WS 18 19): Unterschied zwischen den Versionen

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Definition II.1: (offene Halbebene)
 
Es sei \ \varepsilon eine Ebene in der die Gerade \ g liegen möge. Ferner sei \ Q ein Punkt der Ebene \ \varepsilon, der nicht zur Geraden \ g gehört.
 
Unter den offenen Halbebenen \ gQ^{+} und \ gQ^{-} bezüglich der Trägergeraden \ g versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene \ \varepsilon ohne die Gerade \ g :
 
\ gQ^{+}:=  \left\{ {P|\overline{PQ} \cap g=\phi  } \right\}
 
\ gQ^{-}:=  \left\{ {P|\overline{PQ} \cap g\neq\phi  } \right\}
 
  
  
 
Ich habe den Beweis leider nicht in Tabellenform hinbekommen.  
 
Ich habe den Beweis leider nicht in Tabellenform hinbekommen.  
  
Voraussetzung: g schneidet eine Seite des Dreiecks ABC.
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Voraussetzung: g schneidet eine Seite des Dreiecks ABC.<br />
 
Behauptung: g schneidet genau eine weitere Seite des Dreiecks ABC.  
 
Behauptung: g schneidet genau eine weitere Seite des Dreiecks ABC.  
  
 
Beispiel:
 
Beispiel:
Voraussetzung: g schneidet Seite AB.
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Voraussetzung: g schneidet Seite AB.<br />
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Behauptung: g schneidet entweder Seite AC oder Seite BC.
 
Behauptung: g schneidet entweder Seite AC oder Seite BC.
  
Punkt A teilt die Ebene E in zwei Halbebenen gA+ und gA-.
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Gerade g schneidet die Seite AB (Voraussetzung).
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Punkt A teilt die Ebene E in zwei Halbebenen gA+ und gA-. Gerade g schneidet die Seite AB (Voraussetzung).
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etwas genauer wäre an dieser Stelle: g teilt die Ebene E bezüglich des Punktes A in genau zwei Halbebenen (Begründung: Ebenenteilungsaxiom)--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] ([[Benutzer Diskussion:Schnirch|Diskussion]]) 13:44, 29. Nov. 2018 (CET)
 
Somit muss die Gerade g entweder die Seite AC oder die Seite BC schneiden (Behauptung).
 
Somit muss die Gerade g entweder die Seite AC oder die Seite BC schneiden (Behauptung).
  
 
Es gibt einen Punkt C, der auf der selben Ebene (wie Punkt A und Punkt B) liegen. Somit kann Punkt C entweder in der Halbebene gA+ oder in der Halbebene gA- liegen.  
 
Es gibt einen Punkt C, der auf der selben Ebene (wie Punkt A und Punkt B) liegen. Somit kann Punkt C entweder in der Halbebene gA+ oder in der Halbebene gA- liegen.  
:Eingerückte Zeile Liegt Punkt C in der Halbebene gA+, dann schneidet die Gerade g die Seite BC, aber nicht die Seite AC.  
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Liegt Punkt C in der Halbebene gA+, dann schneidet die Gerade g laut der Definition der Halbebene die Seite BC, aber nicht die Seite AC. (siehe Zeichnung)
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[[Datei:GA+.jpg|thumb|Beweis Satz von Pasch]]
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Liegt Punkt C in der Halbebene gA-, dann schneidet die Gerade g laut der Definition der Halbebene die Seite AC, aber nicht die Seite BC. (siehe Zeichnung)
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:Eingerückte Zeile Liegt Punkt C in der Halbebene gA-, dann schneidet die Gerade g die Seite AC, aber nicht die Seite BC.  
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(Das Gleiche gilt, wenn man statt Seite AB die Seite AC oder die Seite BC als Voraussetzung nutzt.)
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--[[Benutzer:Student01|Student01]] ([[Benutzer Diskussion:Student01|Diskussion]]) 17:14, 21. Nov. 2018 (CET)
  
  
  
(Das Gleiche gilt, wenn man statt Seite AB die Seite AC oder die Seite BC als Voraussetzung nutzt.)
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1. G schneidet <math>\overline{AB}</math> im Punk P mit P= Zw.(A,P,B). '''- Voraussetzung'''<br />
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2. Es gibt einen Punk G1 auf G, der in der Halbebene <math>ABC^-</math> liegt.<br />
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g ist die Summe der beiden Halbgeraden <math>PG1^+</math> und <math>PG1^-</math> (und P) '''- Logik, 1'''<br />
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3. <math>PG1^-</math> ist gleich der Halbgeraden <math>PG2^+</math> mit G2 Element g und Element <math>ABC^+</math>'''- Logik, 2'''<br />
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4.<math>PG2^+</math> ist Element von <math>\overline{AB}C^+</math>, genauso wie <math>\overline{AC}</math> und <math>\overline{BC}</math>'''- Logik, 3'''<br />
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das kann nicht sein, da Widerspruch zum Satz von Pasch --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] ([[Benutzer Diskussion:Schnirch|Diskussion]]) 13:44, 29. Nov. 2018 (CET)
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5. <math>PG2^+</math> schneidet C nicht, aber schneidet einen Punkt F, der den gleichen Abstand zur Geraden AB hat. '''- Voraussetzung, Logik'''<br />
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6. <math>PG2^+</math> schneidet entweder <math>\overline{AC}</math> (wenn F links von C) oder <math>\overline{BC}</math> (wenn F rechts von C)'''- Logik, 4, 5'''<br />--[[Benutzer:CIG UA|CIG UA]] ([[Benutzer Diskussion:CIG UA|Diskussion]]) 13:40, 23. Nov. 2018 (CET)
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dieser Beweis ist so leider nicht zielführend --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] ([[Benutzer Diskussion:Schnirch|Diskussion]]) 13:44, 29. Nov. 2018 (CET)

Aktuelle Version vom 29. November 2018, 13:44 Uhr

Beweisen Sie den Satz von Pasch.
Voraussetzung: g schneidet eine Seite des Dreiecks ABC Behauptung: g schneidet genau eine weitere Seite des Dreiecks ABC

Beweisschritt Begründung
1. g schneidet eine Seite des Dreiecks ABC Voraussetzung
2. g hat keinen Anfangs und Endpunkt Def (Gerade)
3. g muss eine weitere Seite des Dreiecks schneiden Logik, 2.
anschaulich plausibel aber kein Beweis. Versuchen Sie ohne Anschauung zu argumentieren--Schnirch (Diskussion) 12:12, 21. Nov. 2018 (CET)


Ich habe den Beweis leider nicht in Tabellenform hinbekommen.

Voraussetzung: g schneidet eine Seite des Dreiecks ABC.
Behauptung: g schneidet genau eine weitere Seite des Dreiecks ABC.

Beispiel: Voraussetzung: g schneidet Seite AB.

Behauptung: g schneidet entweder Seite AC oder Seite BC.


Punkt A teilt die Ebene E in zwei Halbebenen gA+ und gA-. Gerade g schneidet die Seite AB (Voraussetzung).

etwas genauer wäre an dieser Stelle: g teilt die Ebene E bezüglich des Punktes A in genau zwei Halbebenen (Begründung: Ebenenteilungsaxiom)--Schnirch (Diskussion) 13:44, 29. Nov. 2018 (CET)

Somit muss die Gerade g entweder die Seite AC oder die Seite BC schneiden (Behauptung).

Es gibt einen Punkt C, der auf der selben Ebene (wie Punkt A und Punkt B) liegen. Somit kann Punkt C entweder in der Halbebene gA+ oder in der Halbebene gA- liegen.

Liegt Punkt C in der Halbebene gA+, dann schneidet die Gerade g laut der Definition der Halbebene die Seite BC, aber nicht die Seite AC. (siehe Zeichnung)

Beweis Satz von Pasch

Liegt Punkt C in der Halbebene gA-, dann schneidet die Gerade g laut der Definition der Halbebene die Seite AC, aber nicht die Seite BC. (siehe Zeichnung)

Beweis Satz von Pasch


(Das Gleiche gilt, wenn man statt Seite AB die Seite AC oder die Seite BC als Voraussetzung nutzt.) --Student01 (Diskussion) 17:14, 21. Nov. 2018 (CET)


1. G schneidet \overline{AB} im Punk P mit P= Zw.(A,P,B). - Voraussetzung
2. Es gibt einen Punk G1 auf G, der in der Halbebene ABC^- liegt.
g ist die Summe der beiden Halbgeraden PG1^+ und PG1^- (und P) - Logik, 1
3. PG1^- ist gleich der Halbgeraden PG2^+ mit G2 Element g und Element ABC^+- Logik, 2
4.PG2^+ ist Element von \overline{AB}C^+, genauso wie \overline{AC} und \overline{BC}- Logik, 3

das kann nicht sein, da Widerspruch zum Satz von Pasch --Schnirch (Diskussion) 13:44, 29. Nov. 2018 (CET)

5. PG2^+ schneidet C nicht, aber schneidet einen Punkt F, der den gleichen Abstand zur Geraden AB hat. - Voraussetzung, Logik
6. PG2^+ schneidet entweder \overline{AC} (wenn F links von C) oder \overline{BC} (wenn F rechts von C)- Logik, 4, 5
--CIG UA (Diskussion) 13:40, 23. Nov. 2018 (CET)

dieser Beweis ist so leider nicht zielführend --Schnirch (Diskussion) 13:44, 29. Nov. 2018 (CET)