Lösung von Aufgabe 11.5P (WS 18 19): Unterschied zwischen den Versionen

Aus Geometrie-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
(Die Seite wurde neu angelegt: „Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math> und die Geraden ''a'', ''b'', ''c'' und ''d'' mit: <math>\ a \perp \ b</math> und <math>c||d</math> entspre…“)
 
 
(Eine dazwischenliegende Version von einem Benutzer wird nicht angezeigt)
Zeile 1: Zeile 1:
−
Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math> und die Geraden ''a'', ''b'', ''c'' und ''d'' mit: <math>\ a \perp \ b</math> und <math>c||d</math> entsprechend der Skizze.<br />  
+
#Gegeben sei ein Winkel <math>\angle ABC</math> und ein Punkt ''P'' im Inneren des Winkels der nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math>\angle ABC</math> liegt. Konstruieren Sie eine Strecke <math>\overline{DE}</math> deren Endpunkte ''D'' und ''E'' jeweils auf einem der beiden Schenkel des Winkels <math>\angle ABC</math> liegen und ''P'' Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{DE}</math> ist.  
−
+
#Beweisen Sie, dass Ihre Konstruktion richtig ist.
−
[[Bild:verkettung_12_3.jpg]]
+
<br />
−
<br /><br />
+
<br />
−
#Durch welche Abbildung kann die Verkettung der vier Geradenspiegelungen <math>S_{a}\circ S_{b}\circ S_{c}\circ S_{d} </math> ersetzt werden (Begründen Sie Ihre Entscheidung)?
+
[[Datei:Aufgabe 11.5 WiSe 18 19.png|500px]]<br />
−
#Zeichnen Sie die Achsen der Ersatzabbildung in die Skizze oben ein. Hinweis: Sie dürfen das Gitter im Hintergrund als Orientierung nutzen.
+
Punkspiegelung der Halbgeraden des Winkels um P, konstruiert durch je einen Kreis mit Radius |P(jeweiliger Punkt)|, die Bildpunkte A',B',C' können dann durch die Schnittpunkte dieser Kreise mit den Geraden (jeweiliger Punkt)P konstruiert werden. Die Schnittpunkte von Winkel und Abbildung des Winkels sind die Punkte D und E, wobie D der Bildpunkt von E ist und somit gilt, dass ED eine Gerade durch P ist und |EP|= |PD|.<br />
−
#Konstruieren Sie oben in der Skizze das Bild des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>, das nach der Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b}\circ S_{c}\circ S_{d} </math> entsteht, mit Hilfe der Ersatzabbildung.<br />
+
<br />
 +
Beweis: (Im Beweis ist der Scheitelpunkt C) <br />
 +
Vor: D<sub>(P,180)</sub>(<math>\angle{ACB}</math>) = <math>\angle{A'C'B'}</math> und <math>\angle{ACB}</math> geschnitten <math>\angle{A'C'B'}</math> = {D;E}<br />
 +
Beh: P ε <math>\overline{DE}</math> und |DP| = |PE|<br />
 +
<br />
 +
1.) D<sub>(P,180)</sub> = S<sub>p</sub> <math>\circ</math> S<sub>q</sub> '''- Vor; Def. Drehung'''<br />
 +
2.) p sei so gewählt, dass gilt: p steht senkrecht auf AC => S<sub>p</sub>(AC) = AC '''- Relative Lage der Spiegelachsen bei Drehungen, AC ist Fixgerade für die Spiegelung an p'''<br />
 +
3.) q || AC => S<sub>q</sub>(AC) = A'C' mit q || A'C' '''- 2.) Transitivität der Parallelität, Spiegelung einer Geraden an einer Parallelen erzeugt eine Parallele'''<br />
 +
4.) C'A' geschnitten CB = D '''- 3.)'''
 +
5.) D<sub>(P,180)</sub> (D) = E '''- 2.)'''<br />
 +
6.) P ε <math>\overline{DE}</math> und |DP| = |PE| '''- 5.)'''<br />
 +
Die Behauptung ist bewiesen. --[[Benutzer:CIG UA|CIG UA]] ([[Benutzer Diskussion:CIG UA|Diskussion]]) 22:15, 11. Jan. 2019 (CET)<br />
 +
<br />
  
 
[[Kategorie:Geo_P]]
 
[[Kategorie:Geo_P]]

Aktuelle Version vom 11. Januar 2019, 22:15 Uhr

  1. Gegeben sei ein Winkel \angle ABC und ein Punkt P im Inneren des Winkels der nicht auf einem der Schenkel des Winkels \angle ABC liegt. Konstruieren Sie eine Strecke \overline{DE} deren Endpunkte D und E jeweils auf einem der beiden Schenkel des Winkels \angle ABC liegen und P Mittelpunkt der Strecke \overline{DE} ist.
  2. Beweisen Sie, dass Ihre Konstruktion richtig ist.



Aufgabe 11.5 WiSe 18 19.png
Punkspiegelung der Halbgeraden des Winkels um P, konstruiert durch je einen Kreis mit Radius |P(jeweiliger Punkt)|, die Bildpunkte A',B',C' können dann durch die Schnittpunkte dieser Kreise mit den Geraden (jeweiliger Punkt)P konstruiert werden. Die Schnittpunkte von Winkel und Abbildung des Winkels sind die Punkte D und E, wobie D der Bildpunkt von E ist und somit gilt, dass ED eine Gerade durch P ist und |EP|= |PD|.

Beweis: (Im Beweis ist der Scheitelpunkt C)
Vor: D(P,180)(\angle{ACB}) = \angle{A'C'B'} und \angle{ACB} geschnitten \angle{A'C'B'} = {D;E}
Beh: P ε \overline{DE} und |DP| = |PE|

1.) D(P,180) = Sp \circ Sq - Vor; Def. Drehung
2.) p sei so gewählt, dass gilt: p steht senkrecht auf AC => Sp(AC) = AC - Relative Lage der Spiegelachsen bei Drehungen, AC ist Fixgerade für die Spiegelung an p
3.) q || AC => Sq(AC) = A'C' mit q || A'C' - 2.) Transitivität der Parallelität, Spiegelung einer Geraden an einer Parallelen erzeugt eine Parallele
4.) C'A' geschnitten CB = D - 3.) 5.) D(P,180) (D) = E - 2.)
6.) P ε \overline{DE} und |DP| = |PE| - 5.)
Die Behauptung ist bewiesen. --CIG UA (Diskussion) 22:15, 11. Jan. 2019 (CET)

Von „http://geometrie.zum.de/index.php?title=Lösung_von_Aufgabe_11.5P_(WS_18_19)&oldid=32718“