Der Schwerpunkt und die Seitenhalbierenden eines Dreiecks: Unterschied zwischen den Versionen

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==== Definition Seitenhalbierende eines Dreiecks ====
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Eine Seitenhalbierende eines Dreiecks ist eine Gerade die durch einen Eckpunkt des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite dieses Eckpunktes verläuft.<br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 10:36, 21. Jul. 2010 (UTC)
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Üblicherweise werden die Seitenhalbierenden eines Dreiecks als Strecken definiert, da sich diese Strecken dann in einem ganz bestimmten Verhältnis teilen (erinnern Sie sich an Ihre Schulzeit?). --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:48, 25. Jul. 2010 (UTC)
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Eine Seitenhalbierende eines Dreiecks ist eine Strecke, für die gilt, dass ein Eckpunkt des Dreiecks und der Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite dieses Eckpunktes Endpunkte der Strecke sind.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:09, 25. Jul. 2010 (UTC)<br />
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==== Satz: Existenz und Eindeutigkeit der Seitenhalbierende ====
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Es existiert zu jeder Seite eines Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> genau eine Seitenhalbierende.
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===== Teil 1: Existenz =====
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Voraussetzung: Dreieck <math>\overline{ABC}</math> mit schulüblichen Bezeichnungen
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<br />Behauptung: (o.B.d.A) Es existiert eine Gerade <math>\ s_a</math> zwischen dem Mittelpunkt der Seite <math>\ a</math> und dem Punkt <math>\ A</math>.
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:(1) Es existiert (genau) ein Punkt <math>\ M_a</math>: Mittelpunkt der Seite a (der Strecke <math>\overline {BC}</math>).
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::Begründung - Satz III.1: (Existenz '''und Eindeutigkeit''' des Mittelpunkte einer Strecke)
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:(2) Es existiert (genau) eine Gerade <math>\ s_a</math>, die durch die Punkte <math>\ M_a</math> und <math>\ A</math> geht.
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::Begründung - Axiom I.1: (Axiom von der Geraden) "Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es '''genau''' eine Gerade, die die beiden Punkte enthält. "
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===== Teil 2: Eindeutigkeit=====
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Da die in Schritt (1) und (2) verwandten Sätze / Axiome von Existenz '''und Eindeutigkeit''' sprechen, ist mit dem Existenz-"Beweis" auch die Eindeutigkeit bewiesen. --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 15:32, 21. Jul. 2010 (UTC)
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== Schwerpunkt eines Dreiecks ==
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=== Satz: Schnittpunkt der Seitenhalbierende eines Dreiecks ===
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Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in genau einem Punkt.<br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 10:37, 21. Jul. 2010 (UTC)
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Beweis - erst mit Strahlensätze möglich, oder? --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 13:23, 22. Jul. 2010 (UTC)
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<br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:18, 22. Jul. 2010 (UTC) Denke auch, dass es noch nicht geht.
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==== Definition Schwerpunkt eines Dreiecks ====
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Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden des Dreiecks.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 10:36, 21. Jul. 2010 (UTC)<br />

Aktuelle Version vom 25. Juli 2010, 16:09 Uhr

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Inhaltsverzeichnis

Seitenhalbierende eines Dreiecks

Definition Seitenhalbierende eines Dreiecks

Eine Seitenhalbierende eines Dreiecks ist eine Gerade die durch einen Eckpunkt des Dreiecks \overline{ABC} und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite dieses Eckpunktes verläuft.
--Löwenzahn 10:36, 21. Jul. 2010 (UTC)

Üblicherweise werden die Seitenhalbierenden eines Dreiecks als Strecken definiert, da sich diese Strecken dann in einem ganz bestimmten Verhältnis teilen (erinnern Sie sich an Ihre Schulzeit?). --Schnirch 14:48, 25. Jul. 2010 (UTC)

Eine Seitenhalbierende eines Dreiecks ist eine Strecke, für die gilt, dass ein Eckpunkt des Dreiecks und der Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite dieses Eckpunktes Endpunkte der Strecke sind.--Löwenzahn 15:09, 25. Jul. 2010 (UTC)

Satz: Existenz und Eindeutigkeit der Seitenhalbierende

Es existiert zu jeder Seite eines Dreiecks \overline{ABC} genau eine Seitenhalbierende.

Teil 1: Existenz

Voraussetzung: Dreieck \overline{ABC} mit schulüblichen Bezeichnungen
Behauptung: (o.B.d.A) Es existiert eine Gerade \ s_a zwischen dem Mittelpunkt der Seite \ a und dem Punkt \ A.

(1) Es existiert (genau) ein Punkt \ M_a: Mittelpunkt der Seite a (der Strecke \overline {BC}).
Begründung - Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke)
(2) Es existiert (genau) eine Gerade \ s_a, die durch die Punkte \ M_a und \ A geht.
Begründung - Axiom I.1: (Axiom von der Geraden) "Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält. "
Teil 2: Eindeutigkeit

Da die in Schritt (1) und (2) verwandten Sätze / Axiome von Existenz und Eindeutigkeit sprechen, ist mit dem Existenz-"Beweis" auch die Eindeutigkeit bewiesen. --Heinzvaneugen 15:32, 21. Jul. 2010 (UTC)

Schwerpunkt eines Dreiecks

Satz: Schnittpunkt der Seitenhalbierende eines Dreiecks

Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in genau einem Punkt.
--Löwenzahn 10:37, 21. Jul. 2010 (UTC)

Beweis - erst mit Strahlensätze möglich, oder? --Heinzvaneugen 13:23, 22. Jul. 2010 (UTC)
--Löwenzahn 15:18, 22. Jul. 2010 (UTC) Denke auch, dass es noch nicht geht.


Definition Schwerpunkt eines Dreiecks

Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden des Dreiecks.--Löwenzahn 10:36, 21. Jul. 2010 (UTC)

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