Benutzer:Gnamo54: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 29. Oktober 2019, 18:40 Uhr

Satz: $\sqrt{2}$ ist irrational

Annahme: $\sqrt{2}$ ist rational, a,b $\in$ $\mathbb{N}$ , a und b sind teilerfremd

$\sqrt{2}$ = $\frac{a}{b}$

$\Leftrightarrow$ $2$ = $\frac{a^{2}}{b^{2}}$

$\Leftrightarrow$ $2b^{2}$ = $a^{2}$

$\Rightarrow$ $2$ $\vert$ $a^{2}$

$\Rightarrow$ $2$ $\vert$ $a$

$\Rightarrow$ $a$ = $2c$ , mit $c$ $\in$ $\mathbb{N}$

$\Rightarrow$ $2b^{2}$ = $(2c)^{2}$

$\Leftrightarrow$ $2b^{2}$ = $4c^{2}$

$\Leftrightarrow$ $b^{2}$ = $2c^{2}$

$\Rightarrow$ $2$ $\vert$ $b^{2}$

$\Rightarrow$ $2$ $\vert$ $b$

$\rightarrow$ Widerspruch zur Annahme, dass a und b teilerfremd sind

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 ==Satz: <math>\sqrt{2}</math> ist irrational==
-Annahme: <math>\sqrt{2}</math> ist rational,   d.h. a,b <math>\in</math> <math>\mathbb{N}</math><br><br>
+Annahme: <math>\sqrt{2}</math> ist rational,    a,b <math>\in</math> <math>\mathbb{N}</math>, a und b sind teilerfremd<br><br>
 <math>\sqrt{2}</math>= <math>\frac{a}{b}</math><br><br>
 <math>\Leftrightarrow</math>  <math>2</math> = <math>\frac{a^{2}}{b^{2}}</math><br><br>

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