Der Schwerpunkt und die Seitenhalbierenden eines Dreiecks: Unterschied zwischen den Versionen
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==== Definition Seitenhalbierende eines Dreiecks ==== | ==== Definition Seitenhalbierende eines Dreiecks ==== | ||
| − | + | Eine Seitenhalbierende eines Dreiecks ist eine Gerade die durch einen Eckpunkt des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite dieses Eckpunktes verläuft.<br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 10:36, 21. Jul. 2010 (UTC) | |
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| + | Üblicherweise werden die Seitenhalbierenden eines Dreiecks als Strecken definiert, da sich diese Strecken dann in einem ganz bestimmten Verhältnis teilen (erinnern Sie sich an Ihre Schulzeit?). --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:48, 25. Jul. 2010 (UTC) | ||
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| + | Eine Seitenhalbierende eines Dreiecks ist eine Strecke, für die gilt, dass ein Eckpunkt des Dreiecks und der Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite dieses Eckpunktes Endpunkte der Strecke sind.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:09, 25. Jul. 2010 (UTC)<br /> | ||
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| + | ==== Satz: Existenz und Eindeutigkeit der Seitenhalbierende ==== | ||
| + | Es existiert zu jeder Seite eines Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> genau eine Seitenhalbierende. | ||
| + | ===== Teil 1: Existenz ===== | ||
| + | Voraussetzung: Dreieck <math>\overline{ABC}</math> mit schulüblichen Bezeichnungen | ||
| + | <br />Behauptung: (o.B.d.A) Es existiert eine Gerade <math>\ s_a</math> zwischen dem Mittelpunkt der Seite <math>\ a</math> und dem Punkt <math>\ A</math>. | ||
| + | :(1) Es existiert (genau) ein Punkt <math>\ M_a</math>: Mittelpunkt der Seite a (der Strecke <math>\overline {BC}</math>). | ||
| + | ::Begründung - Satz III.1: (Existenz '''und Eindeutigkeit''' des Mittelpunkte einer Strecke) | ||
| + | :(2) Es existiert (genau) eine Gerade <math>\ s_a</math>, die durch die Punkte <math>\ M_a</math> und <math>\ A</math> geht. | ||
| + | ::Begründung - Axiom I.1: (Axiom von der Geraden) "Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es '''genau''' eine Gerade, die die beiden Punkte enthält. " | ||
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| + | ===== Teil 2: Eindeutigkeit===== | ||
| + | Da die in Schritt (1) und (2) verwandten Sätze / Axiome von Existenz '''und Eindeutigkeit''' sprechen, ist mit dem Existenz-"Beweis" auch die Eindeutigkeit bewiesen. --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 15:32, 21. Jul. 2010 (UTC) | ||
== Schwerpunkt eines Dreiecks == | == Schwerpunkt eines Dreiecks == | ||
| − | === Satz: | + | === Satz: Schnittpunkt der Seitenhalbierende eines Dreiecks === |
| − | Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in | + | Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in genau einem Punkt.<br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 10:37, 21. Jul. 2010 (UTC) |
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| + | Beweis - erst mit Strahlensätze möglich, oder? --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 13:23, 22. Jul. 2010 (UTC) | ||
| + | <br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:18, 22. Jul. 2010 (UTC) Denke auch, dass es noch nicht geht. | ||
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==== Definition Schwerpunkt eines Dreiecks ==== | ==== Definition Schwerpunkt eines Dreiecks ==== | ||
Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden des Dreiecks.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 10:36, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /> | Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden des Dreiecks.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 10:36, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /> | ||
Aktuelle Version vom 25. Juli 2010, 16:09 Uhr
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Seitenhalbierende eines Dreiecks
Definition Seitenhalbierende eines Dreiecks
Eine Seitenhalbierende eines Dreiecks ist eine Gerade die durch einen Eckpunkt des Dreiecks 
und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite dieses Eckpunktes verläuft.
--Löwenzahn 10:36, 21. Jul. 2010 (UTC)
Üblicherweise werden die Seitenhalbierenden eines Dreiecks als Strecken definiert, da sich diese Strecken dann in einem ganz bestimmten Verhältnis teilen (erinnern Sie sich an Ihre Schulzeit?). --Schnirch 14:48, 25. Jul. 2010 (UTC)
Eine Seitenhalbierende eines Dreiecks ist eine Strecke, für die gilt, dass ein Eckpunkt des Dreiecks und der Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite dieses Eckpunktes Endpunkte der Strecke sind.--Löwenzahn 15:09, 25. Jul. 2010 (UTC)
Satz: Existenz und Eindeutigkeit der Seitenhalbierende
Es existiert zu jeder Seite eines Dreiecks genau eine Seitenhalbierende.
Teil 1: Existenz
Voraussetzung: Dreieck mit schulüblichen Bezeichnungen
Behauptung: (o.B.d.A) Es existiert eine Gerade 
zwischen dem Mittelpunkt der Seite 
und dem Punkt 
.
- (1) Es existiert (genau) ein Punkt
: Mittelpunkt der Seite a (der Strecke 
).
- Begründung - Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke)
- (2) Es existiert (genau) eine Gerade , die durch die Punkte und geht.
- Begründung - Axiom I.1: (Axiom von der Geraden) "Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält. "
Teil 2: Eindeutigkeit
Da die in Schritt (1) und (2) verwandten Sätze / Axiome von Existenz und Eindeutigkeit sprechen, ist mit dem Existenz-"Beweis" auch die Eindeutigkeit bewiesen. --Heinzvaneugen 15:32, 21. Jul. 2010 (UTC)
Schwerpunkt eines Dreiecks
Satz: Schnittpunkt der Seitenhalbierende eines Dreiecks
Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in genau einem Punkt.
--Löwenzahn 10:37, 21. Jul. 2010 (UTC)
Beweis - erst mit Strahlensätze möglich, oder? --Heinzvaneugen 13:23, 22. Jul. 2010 (UTC)
--Löwenzahn 15:18, 22. Jul. 2010 (UTC) Denke auch, dass es noch nicht geht.
Definition Schwerpunkt eines Dreiecks
Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden des Dreiecks.--Löwenzahn 10:36, 21. Jul. 2010 (UTC)
