Lösungen Serie 6 Einführung in die Geometrie SoSe 2020: Unterschied zwischen den Versionen
*m.g.* (Diskussion | Beiträge) (→Lösung Aufgabe 6.5) |
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# <math>M_6= \overline{AB} \cup AB^-</math>. | # <math>M_6= \overline{AB} \cup AB^-</math>. | ||
==Lösung== | ==Lösung== | ||
+ | <math>M_1= \overline{AB}</math><br /> | ||
+ | <math>M_2= AB^+</math><br /> | ||
+ | <math>M_3= \overline {AB}</math><br /> | ||
+ | <math>M_4= BA^+</math><br /> | ||
+ | <math>M_5=\{A\}</math><br /> | ||
+ | <math>M_6= BA^+</math> | ||
+ | |||
+ | ===Lösung von Ferrus=== | ||
+ | [[Bild:20200615 170032 (2).jpg|600 px]] | ||
+ | ===Bemerkungen M.G.=== | ||
+ | [[Bild:KorrekturAufgabe6 1.png|800 px]] | ||
+ | |||
=Lösung Aufgabe 6.2= | =Lösung Aufgabe 6.2= | ||
==Aufgabe== | ==Aufgabe== | ||
Definieren Sie den Begriff Halbebene <math>gA^-</math>. | Definieren Sie den Begriff Halbebene <math>gA^-</math>. | ||
==Lösung== | ==Lösung== | ||
+ | Es sei g eine Gerade, die mit der Ebene E inzidiert.<br /> | ||
+ | Die Menge aller Punkte P der Ebene E, für die gilt, dass <math>\overline {AP}</math> einen Schnittpunkt mit g hat, heißt Halbebene <math>gA^-</math>.<br /> | ||
+ | <math>gA^-:=\{P|~\overline{AP} \cap g \not = \emptyset \} </math> | ||
=Lösung Aufgabe 6.3= | =Lösung Aufgabe 6.3= | ||
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::<math>\overline{ABC}:=\overline{AB} \cup \overline{BC} \cup \overline{AC}</math>.<br /> | ::<math>\overline{ABC}:=\overline{AB} \cup \overline{BC} \cup \overline{AC}</math>.<br /> | ||
− | + | [[Datei: [[Datei:2C23311B-FA98-4551-ACF9-24C66D7729A2.jpeg|thumb|Aufgabe 6.3]]]] | |
Ergänzen Sie die Definition um den Begriff des Inneren des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.<br /> | Ergänzen Sie die Definition um den Begriff des Inneren des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.<br /> | ||
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==Lösung== | ==Lösung== | ||
− | <math>I(\overline{ABC}):= \ | + | <math>I(\overline{ABC}):= {P| zw(B,K,C) \cap zw(A,P,K)}</math><br /> |
+ | Bemerkung: Mit der Zwischenrelation können Sie nur Strecken beschreiben. Daswird für das Innere vom Dreieck schwer ... --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] ([[Benutzer Diskussion:*m.g.*|Diskussion]]) 23:25, 17. Jun. 2020 (CEST) | ||
=Lösung Aufgabe 6.4= | =Lösung Aufgabe 6.4= | ||
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==Lösung== | ==Lösung== | ||
Es seien <math>M_1</math> und <math>M_2</math> zwei konvexe Punktmengen ... | Es seien <math>M_1</math> und <math>M_2</math> zwei konvexe Punktmengen ... | ||
+ | [[Datei: [[Datei:1E08F6E2-3875-400A-9488-33A01CDF6466.jpeg|thumb|Aufgabe 6.4]]]] | ||
=Lösung Aufgabe 6.5= | =Lösung Aufgabe 6.5= | ||
+ | |||
==Aufgabe== | ==Aufgabe== | ||
Beweisen Sie, dass jede Strecke <math>\overline{AB}</math> eine konvexe Menge ist. | Beweisen Sie, dass jede Strecke <math>\overline{AB}</math> eine konvexe Menge ist. | ||
==Lösung== | ==Lösung== | ||
+ | ===Lösung 0=== | ||
Es seien <math>C</math> und <math>D</math> zwei Punkte der Strecke <math>\overline{AB}</math>.<br /> | Es seien <math>C</math> und <math>D</math> zwei Punkte der Strecke <math>\overline{AB}</math>.<br /> | ||
Wir haben zu zeigen, dass jeder Punkt von .... | Wir haben zu zeigen, dass jeder Punkt von .... | ||
+ | ===eingestellte Lösung 1 === | ||
+ | [[Bild:Serie06Aufgabe6.5.jpg|600px]] | ||
+ | ====Bemerkung --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] ([[Benutzer Diskussion:*m.g.*|Diskussion]]) 17:27, 16. Jun. 2020 (CEST)===== | ||
+ | Schritte 4 und 5 sind unnötig. Der Rest ist nicht zwingend.<br /> | ||
+ | Sie müssen zeigen, dass ein beliebiger Punkt <math>P</math> von <math>\overline{CD}</math> zu <math>\overline{AB}</math> gehört.<br /> | ||
+ | Für die Endpunkte <math>C,D</math> ist das trivial.<br /> | ||
+ | Sei <math>P \in \overline{CD}, A, B \not \equiv P </math>.<br /> | ||
+ | Wir müssen zeigen, dass <math>\operatorname{zw(A,P,B}</math><br /> | ||
+ | Das haben wir gezeigt, wenn wir <br /> | ||
+ | <math>\begin{matrix} | ||
+ | (*) & |AP|+|PB| & = & |AB|\\ | ||
+ | \end{matrix} | ||
+ | </math> <br /> | ||
+ | gezeigt haben.<br /> | ||
+ | |||
+ | Wir kümmern uns zunächst um die Lage der Punkte <math>C</math> und <math>D</math>.<br /> | ||
+ | <math>A, C</math> und <math>D</math> sind drei kollineare paarweise verschiedene Punkte von denen demnach genau einer zwischen den anderen beiden liegt. Sei dieses o.B.d.A. der Punkt <math>C</math>. Über die Punkte und ihre Abstände haben wir nun die folgenden gesicherten Kenntnisse:<br /> | ||
+ | |||
+ | <math>\begin{matrix} | ||
+ | (I) & |AC|+|CB|& = & |AB| & ~ wegen ~ C \in \overline{AB} \\ | ||
+ | (II) & |AD|+|DB|& = &|AB| & ~ wegen ~ D \in \overline{AB} \\ | ||
+ | (III) & |AC|+|CD|&=& |AD| & ~wegen~ \operatorname{zw}(A,C,D)\\ | ||
+ | \end{matrix} | ||
+ | </math><br /> | ||
+ | Der Punkt <math>D</math> muss nun zwischen <math>C</math> und <math>B</math> liegen.<br /> | ||
+ | Wäre dem nicht so, müsste <math>C</math> zwischen <math>D</math> und <math>C</math> liegen.<br /> | ||
+ | '''Hier müssen Sie jetzt einen Widerspruch finden ...'''<br /> | ||
+ | Wegen <math>\operatorname{zw} (C,D,B)</math> gilt:<br /> | ||
+ | |||
+ | <math>\begin{matrix} | ||
+ | (IV) & |CD|+|DB|& = & |CB| \\ | ||
+ | \end{matrix} | ||
+ | </math><br /> | ||
+ | Jetzt konzentrieren wir uns noch mal auf <math>P</math>:<br /> | ||
+ | |||
+ | <math>\begin{matrix} | ||
+ | (V) & |CP|+|PD|& = & |AB| & ~ wegen ~ P \in \overline{CD} \\ | ||
+ | \end{matrix} | ||
+ | </math><br /> | ||
+ | '''Jetzt versuchen Sie, aus (I) bis (V) (*) zu "basteln". ''' | ||
=Lösung Aufgabe 6.6= | =Lösung Aufgabe 6.6= | ||
+ | |||
+ | ==Aufgabe== | ||
+ | Gegeben seien in der Ebene <math>\varepsilon</math> die offene Halbebene <math>gA^+</math>, die Trägergerade <math>g</math> und die offene Halbebene <math>gA^-</math>. Sie dürfen davon ausgehen, dass Folgendes bewiesen wurde: | ||
+ | |||
+ | # <math>gA^+ \cap gA^- = \emptyset \land gA^+ \cap g = \emptyset \land gA^- \cap g = \emptyset</math>, | ||
+ | # <math>gA^+ \cup g \cup gA^- = \varepsilon</math>. | ||
+ | |||
+ | Satz 6.2 (Halbebenen sind konvex)<br /> | ||
+ | |||
+ | :: Halbebenen sind konvexe Punktmengen. | ||
+ | |||
+ | Beweisen Sie Satz 6.2.<br /> | ||
+ | |||
+ | (Das Axiom von Pasch ist hilfreich) | ||
+ | ==Lösung 0== | ||
+ | Wir beginnen mit der Halbebene <math>gA^+</math>.<br /> | ||
+ | Es seien nun <math>P</math> und <math>Q</math> zwei Punkte aus <math>gA^+</math>.<br /> | ||
+ | Wir haben zu zeigen, dass ..... | ||
+ | ==1. Lösung, die eingestellt wurde== | ||
+ | [[Bild:Serie06Aufgabe6.6.jpg|600px]] | ||
=Lösung Aufgabe 6.7= | =Lösung Aufgabe 6.7= | ||
+ | ==Aufgabe== | ||
+ | Beweisen Sie, dass das Innere eines Dreiecks konvex ist. | ||
+ | ==Lösung== | ||
+ | Nach Definition ist das Innere eines Dreiecks die Schnittmenge der drei Halbebenen <math>AB,C^+</math><br />, <math>BC,A^+</math> und <math>AC,B^+</math>. | ||
+ | Weil Halbebenen nach Satz 6.2 konvex sind<br /> | ||
+ | und nach Satz 6.1 die Schnittmenge zweier konvexer Mengen auch konvex ist,<br /> | ||
+ | ist das Innere eines jeden Dreiecks konvex. | ||
=Lösung Aufgabe 6.8= | =Lösung Aufgabe 6.8= | ||
+ | ==Aufgabe== | ||
+ | Definieren Sie die folgenden Begriffe: | ||
+ | [[Datei: [[Datei:3C702BBE-31B7-46A7-A752-01C9825842C8.jpeg|thumb|Aufgabe 6.8]]]] | ||
+ | |||
+ | # Kreis <math>k</math> mit Mittelpunkt <math>M</math> und Radius <math>r</math>. | ||
+ | # Halbkreis mit den Endpunkten <math>A</math> und <math>B</math>. | ||
+ | # Viertelkreis mit den Endpunkten <math>A</math> und <math>B</math>. | ||
+ | [[Datei: [[Datei:FBDBD0CC-73EB-4F10-9B5A-642C79E09C94.jpeg|thumb|Aufgabe 6.8]]]] | ||
+ | (Halbebenen und Schnittmengen sind hilfreich) | ||
+ | |||
+ | ==Lösung== | ||
=Lösung Aufgabe 6.9= | =Lösung Aufgabe 6.9= | ||
+ | ==Aufgabe== | ||
+ | Definieren Sie den Begriff Inneres eines Kreises und beweisen Sie, dass das Innere eines Kreises konvex ist. | ||
+ | [[Datei: [[Datei:9C55D10F-26CB-4D67-AE72-F3E3AA4A97D5.jpeg|thumb|Aufgabe6.9]]]] | ||
+ | |||
+ | ==Lösung== | ||
+ | ===Definition=== | ||
+ | Es sei <math>k</math> ein Kreis mit dem Mittelpunkt <math>M</math> und dem Radius <math>r</math>.<br /> | ||
+ | Das Innere <math>I(k)</math> des Kreises <math>k</math> wird wie folgt definiert:<br /> | ||
+ | |||
+ | <math>I(k):=\{P|~|PM| \ldots \}</math>. | ||
+ | ===Beweis des Satzes=== | ||
+ | Satz: <math>A,B \in I(k) \Rightarrow \overline{AB} \subseteq I(k)</math>.<br /> | ||
+ | Für jeden Punkt <math>C\in \overline{AB}</math> ist also zu zeigen, dass <math>\ldots</math>.<br /> | ||
+ | Wir nehmen an, dass ....<br /> | ||
+ | Wegen <math>C\in \overline{AB} </math> gilt die folgende Gleichung ... .<br /> | ||
+ | ... | ||
=Lösung Aufgabe 6.10= | =Lösung Aufgabe 6.10= | ||
+ | ==Aufgabe== | ||
+ | Ebene Geometrie:\\ | ||
+ | Definition: (Ellipse)<br /> | ||
+ | |||
+ | ::Es seien <math>F_1</math> und <math>F_2</math> zwei Punkte und <math>c</math> eine beliebige aber feste positive reelle Zahl. Die folgende Punktmenge <math>E</math> heißt Ellipse mit den Brennpunkten <math>F_1</math> und <math>F_2</math>: <math>E:=\{P|~|PF_1|+|PF_2|=c\}</math> | ||
+ | |||
+ | Lassen Sie mit Geogebra einen Kreis <math>k</math> mit dem Mittelpunkt <math>M</math> und dem Radius <math>r</math> zeichnen. Konstruieren Sie dann einen Punkt <math>F</math> im Inneren von <math>k</math>. Legen Sie nun einen Punkt <math>L</math> auf <math>k</math> fest. Lassen Sie die Mittelsenkrechte <math>m</math> von <math>\overline{PF}</math> zeichnen und bestimmen sie den Schnittpunkt <math>P</math> von <math>m</math> mit <math>\overline{ML}</math>. | ||
+ | Beweisen Sie, dass jeder Schnittpunkt <math>P</math> ein Punkt einer Ellipse mit den Brennpunkten <math>M</math> und <math>F</math> und <math>c=r</math> ist. | ||
+ | ==Lösung== | ||
+ | |||
+ | |||
+ | [[Kategorie: Einführung S]] |
Aktuelle Version vom 19. Juni 2020, 14:44 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Lösung Aufgabe 6.1
Aufgabe 6.1
Bestimmen Sie die folgenden Mengen:
- .
- .
- .
- .
- .
- .
Lösung
Lösung von Ferrus
Bemerkungen M.G.
Lösung Aufgabe 6.2
Aufgabe
Definieren Sie den Begriff Halbebene .
Lösung
Es sei g eine Gerade, die mit der Ebene E inzidiert.
Die Menge aller Punkte P der Ebene E, für die gilt, dass einen Schnittpunkt mit g hat, heißt Halbebene .
Lösung Aufgabe 6.3
Aufgabe
Definition: (Dreieck)
- Es gelte .
- .
- Es gelte .
Ergänzen Sie die Definition um den Begriff des Inneren des Dreiecks .
.
Lösung
Bemerkung: Mit der Zwischenrelation können Sie nur Strecken beschreiben. Daswird für das Innere vom Dreieck schwer ... --*m.g.* (Diskussion) 23:25, 17. Jun. 2020 (CEST)
Lösung Aufgabe 6.4
Aufgabe
Beweisen Sie den folgenden Satz:
Satz 6.1. (Schnitt konvexer Mengen)
- Die Schnittmenge zweier konvexer Mengen ist konvex.
Lösung
Es seien und zwei konvexe Punktmengen ...
[[Datei: ]]Lösung Aufgabe 6.5
Aufgabe
Beweisen Sie, dass jede Strecke eine konvexe Menge ist.
Lösung
Lösung 0
Es seien und zwei Punkte der Strecke .
Wir haben zu zeigen, dass jeder Punkt von ....
eingestellte Lösung 1
Bemerkung --*m.g.* (Diskussion) 17:27, 16. Jun. 2020 (CEST)=
Schritte 4 und 5 sind unnötig. Der Rest ist nicht zwingend.
Sie müssen zeigen, dass ein beliebiger Punkt von zu gehört.
Für die Endpunkte ist das trivial.
Sei .
Wir müssen zeigen, dass
Das haben wir gezeigt, wenn wir
gezeigt haben.
Wir kümmern uns zunächst um die Lage der Punkte und .
und sind drei kollineare paarweise verschiedene Punkte von denen demnach genau einer zwischen den anderen beiden liegt. Sei dieses o.B.d.A. der Punkt . Über die Punkte und ihre Abstände haben wir nun die folgenden gesicherten Kenntnisse:
Der Punkt muss nun zwischen und liegen.
Wäre dem nicht so, müsste zwischen und liegen.
Hier müssen Sie jetzt einen Widerspruch finden ...
Wegen gilt:
Jetzt konzentrieren wir uns noch mal auf :
Jetzt versuchen Sie, aus (I) bis (V) (*) zu "basteln".
Lösung Aufgabe 6.6
Aufgabe
Gegeben seien in der Ebene die offene Halbebene , die Trägergerade und die offene Halbebene . Sie dürfen davon ausgehen, dass Folgendes bewiesen wurde:
- ,
- .
Satz 6.2 (Halbebenen sind konvex)
- Halbebenen sind konvexe Punktmengen.
Beweisen Sie Satz 6.2.
(Das Axiom von Pasch ist hilfreich)
Lösung 0
Wir beginnen mit der Halbebene .
Es seien nun und zwei Punkte aus .
Wir haben zu zeigen, dass .....
1. Lösung, die eingestellt wurde
Lösung Aufgabe 6.7
Aufgabe
Beweisen Sie, dass das Innere eines Dreiecks konvex ist.
Lösung
Nach Definition ist das Innere eines Dreiecks die Schnittmenge der drei Halbebenen
, und .
Weil Halbebenen nach Satz 6.2 konvex sind
und nach Satz 6.1 die Schnittmenge zweier konvexer Mengen auch konvex ist,
ist das Innere eines jeden Dreiecks konvex.
Lösung Aufgabe 6.8
Aufgabe
Definieren Sie die folgenden Begriffe:
[[Datei: ]]- Kreis mit Mittelpunkt und Radius .
- Halbkreis mit den Endpunkten und .
- Viertelkreis mit den Endpunkten und .
(Halbebenen und Schnittmengen sind hilfreich)
Lösung
Lösung Aufgabe 6.9
Aufgabe
Definieren Sie den Begriff Inneres eines Kreises und beweisen Sie, dass das Innere eines Kreises konvex ist.
[[Datei: ]]Lösung
Definition
Es sei ein Kreis mit dem Mittelpunkt und dem Radius .
Das Innere des Kreises wird wie folgt definiert:
.
Beweis des Satzes
Satz: .
Für jeden Punkt ist also zu zeigen, dass .
Wir nehmen an, dass ....
Wegen gilt die folgende Gleichung ... .
...
Lösung Aufgabe 6.10
Aufgabe
Ebene Geometrie:\\
Definition: (Ellipse)
- Es seien und zwei Punkte und eine beliebige aber feste positive reelle Zahl. Die folgende Punktmenge heißt Ellipse mit den Brennpunkten und :
Lassen Sie mit Geogebra einen Kreis mit dem Mittelpunkt und dem Radius zeichnen. Konstruieren Sie dann einen Punkt im Inneren von . Legen Sie nun einen Punkt auf fest. Lassen Sie die Mittelsenkrechte von zeichnen und bestimmen sie den Schnittpunkt von mit . Beweisen Sie, dass jeder Schnittpunkt ein Punkt einer Ellipse mit den Brennpunkten und und ist.