Lösung von Aufgabe 11.1P (SoSe 20): Unterschied zwischen den Versionen

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Bei einer Punktspiegelung werden Geraden stets auf parallele Bildgeraden abgebildet.<br />
 
Bei einer Punktspiegelung werden Geraden stets auf parallele Bildgeraden abgebildet.<br />
  
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Voraussetzung: Punktspiegelung einer Geraden g
  
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Behauptung: g parallel zu g''
  
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Zusatz: a und b sind die Spiegelgeraden der Punktspiegelung mit: <math>a \cap b = S</math> und <math>a \cap g = P</math> und <math>b \cap g = E</math>
  
  
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! !! Beweisschritt!! Begründung
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| 1)|| <math>S_a\circ S_b(g)=g'' </math>|| Geradentreue der Geradenspiegelung, Def. Punktspiegelung
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| 2)|| <math>S_a\circ S_b(P)=P'' \wedge S_a\circ S_b(E)=E''</math> || Def. Punktspiegelung, S ist Fixpunkt
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| 3)|| <math> |< PSE| = |< P''SE''|=|< ab|</math>|| Winkelmaßerhaltung der Geradenspiegelung, 2), Zusatz
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| 4)|| <math> | PS | = | P''S | \wedge  | ES | = | E''S |</math>|| Eigenschaft Punktspiegelung, 2)
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| 5)|| <math>g'' \cap a=P'' \wedge g'' \cap b=E''</math>|| 1), 2), 3), Eigenschaft Geradenspiegelung, Zusatz
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| 6)|| <math>g|| g''</math>  || 3), 4), 5)
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--[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]]) 10:58, 25. Jul. 2020 (CEST)
  
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Der Beweis geht kürzer:
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Voraussetzung: Punktspiegelung <math>S_a\circ S_b</math> mit <math> a \cap b = \lbrace S \rbrace</math> und a <math>\perp b </math>
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Behauptung: g || g''
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! !! Beweisschritt!! Begründung
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| 1)|| Drehen a und b mit festen S und festen Drehwinkel so, dass a II b  || Punktspiegelung
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| 2)|| <math>S_a(g)=g' </math><math>, g' || g</math> || Parallelentreue, 1), Vor., Def. Geradenspiegelung
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| 3)|| <math> S_b(g')=g'' = g' </math>|| Def. Fixgerade, Vor.
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| 4)|| <math>g || g''</math> || 2), 3), Transitivität der Parallelenrelation
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--[[Benutzer:Tutorin Laura|Tutorin Laura]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Laura|Diskussion]]) 11:06, 27. Jul. 2020 (CEST)
 
[[Kategorie:Geo_P]]
 
[[Kategorie:Geo_P]]

Aktuelle Version vom 27. Juli 2020, 10:06 Uhr

Beweisen Sie Satz IX.4: Bei einer Punktspiegelung werden Geraden stets auf parallele Bildgeraden abgebildet.

Voraussetzung: Punktspiegelung einer Geraden g

Behauptung: g parallel zu g

Zusatz: a und b sind die Spiegelgeraden der Punktspiegelung mit: a \cap b = S und a \cap g = P und b \cap g = E


Beweisschritt Begründung
1) S_a\circ S_b(g)=g'' Geradentreue der Geradenspiegelung, Def. Punktspiegelung
2) S_a\circ S_b(P)=P'' \wedge S_a\circ S_b(E)=E'' Def. Punktspiegelung, S ist Fixpunkt
3) |< PSE| = |< P''SE''|=|< ab| Winkelmaßerhaltung der Geradenspiegelung, 2), Zusatz
4) | PS | = | P''S | \wedge | ES | = | E''S | Eigenschaft Punktspiegelung, 2)
5) g'' \cap a=P'' \wedge g'' \cap b=E'' 1), 2), 3), Eigenschaft Geradenspiegelung, Zusatz
6) g|| g'' 3), 4), 5)

--tgksope (Diskussion) 10:58, 25. Jul. 2020 (CEST) 


Der Beweis geht kürzer: 

Voraussetzung: Punktspiegelung S_a\circ S_b mit  a \cap b = \lbrace S \rbrace und a \perp b  
Behauptung: g || g
Beweisschritt Begründung
1) Drehen a und b mit festen S und festen Drehwinkel so, dass a II b Punktspiegelung
2) S_a(g)=g' , g' || g Parallelentreue, 1), Vor., Def. Geradenspiegelung
3) S_b(g')=g'' = g' Def. Fixgerade, Vor.
4) g || g'' 2), 3), Transitivität der Parallelenrelation 
--Tutorin Laura (Diskussion) 11:06, 27. Jul. 2020 (CEST)
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