Auftrag der Woche 5 (WS 25 26): Unterschied zwischen den Versionen
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| + | Gegeben sei ein Dreieck ABC mit |AC| < |AB|. | ||
| + | Zeigen Sie, dass gilt: ∠B < ∠C. | ||
| + | a) Zwei Studierende präsentieren folgende Beweise für die Behauptung. Entscheiden Sie für jeden Beweis, ob er korrekt ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung. | ||
| + | Beweis A: | ||
| + | Da |AC| < |AB|, ist das Dreieck bei den Punkten C und B nicht gleichschenklig. Nach der Umkehrung des Basiswinkelsatzes folgt daraus direkt ∠B ≠ ∠C. Da außerdem |AC| < |AB| gilt, muss der gegenüberliegende Winkel größer sein, also ∠B < ∠C. | ||
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| + | Wir nehmen an, ∠B ≥ ∠C. Dann ist nach dem Satz über die Beziehung zwischen Seiten und Winkeln im Dreieck |AC| ≥ |AB|. Dies widerspricht der Voraussetzung |AC| < |AB|. Also muss ∠B < ∠C gelten. | ||
| + | b) Führen Sie selbst einen Widerspruchsbeweis der Behauptung. | ||
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| + | Gegeben seien zwei nicht-identische Geraden g und h, die jeweils von einer dritten Geraden k geschnitten werden. Dadurch entstehen die Stufenwinkel α und β. | ||
| + | Betrachten Sie die Aussage: „Wenn die Stufenwinkel α und β kongruent sind, dann sind die Geraden g und h parallel.“ | ||
| + | a) Geben Sie die Kontraposition zur Aussage an. | ||
| + | b) Formulieren Sie eine Äquivalenzform der Aussage, die ohne Stufenwinkel, aber ausschließlich mit Innen- und Wechselwinkeln formuliert ist. | ||
| + | c) Beurteilen Sie, ob folgende Aussage äquivalent zu ist: „Wenn g und h nicht parallel sind, dann besitzen sie höchstens einen Schnittpunkt.“ Begründen Sie. | ||
| + | d) Formulieren und beweisen Sie eine Version des Stufenwinkelsatzes, die ohne Winkelbezeichnungen allein mit einer Kombination aus Implikationen und ihrer Kontraposition argumentiert. | ||
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Aktuelle Version vom 15. November 2025, 20:49 Uhr
Entwerfen Sie eigene Klausuraufgaben für Ihre Kommilitoninnen und Kommilitonen und stellen Sie diese hier ein. Schreiben Sie bitte keine Übungs- oder Zusatzaufgaben ab, sondern erfinden Sie wirklich neue eigene Aufgaben. Ordnen Sie Ihre Aufgaben in Schwierigkeitsgrade ein.
Leichte Aufgaben:
Gegeben sei ein gleichschenkliges Trapez ABCD mit AB || CD und |AD| = |BC|.
a) Formulieren Sie den folgenden Satz präzise: „In einem gleichschenkligen Trapez sind die Basiswinkel an der längeren Basis kongruent.“
b) Formulieren Sie die Umkehrung dieses Satzes.
c) Fassen Sie Satz und Umkehrung zu einem Äquivalenzsatz zusammen.
Mittelschwere Aufgaben:
Gegeben sei ein Dreieck ABC mit |AC| < |AB|. Zeigen Sie, dass gilt: ∠B < ∠C.
a) Zwei Studierende präsentieren folgende Beweise für die Behauptung. Entscheiden Sie für jeden Beweis, ob er korrekt ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung.
Beweis A: Da |AC| < |AB|, ist das Dreieck bei den Punkten C und B nicht gleichschenklig. Nach der Umkehrung des Basiswinkelsatzes folgt daraus direkt ∠B ≠ ∠C. Da außerdem |AC| < |AB| gilt, muss der gegenüberliegende Winkel größer sein, also ∠B < ∠C.
Beweis B: Wir nehmen an, ∠B ≥ ∠C. Dann ist nach dem Satz über die Beziehung zwischen Seiten und Winkeln im Dreieck |AC| ≥ |AB|. Dies widerspricht der Voraussetzung |AC| < |AB|. Also muss ∠B < ∠C gelten.
b) Führen Sie selbst einen Widerspruchsbeweis der Behauptung.
Schwere Aufgaben:
Gegeben seien zwei nicht-identische Geraden g und h, die jeweils von einer dritten Geraden k geschnitten werden. Dadurch entstehen die Stufenwinkel α und β. Betrachten Sie die Aussage: „Wenn die Stufenwinkel α und β kongruent sind, dann sind die Geraden g und h parallel.“
a) Geben Sie die Kontraposition zur Aussage an.
b) Formulieren Sie eine Äquivalenzform der Aussage, die ohne Stufenwinkel, aber ausschließlich mit Innen- und Wechselwinkeln formuliert ist.
c) Beurteilen Sie, ob folgende Aussage äquivalent zu ist: „Wenn g und h nicht parallel sind, dann besitzen sie höchstens einen Schnittpunkt.“ Begründen Sie.
d) Formulieren und beweisen Sie eine Version des Stufenwinkelsatzes, die ohne Winkelbezeichnungen allein mit einer Kombination aus Implikationen und ihrer Kontraposition argumentiert.
