Lösung von Aufg. 8.1: Unterschied zwischen den Versionen
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Beweisen Sie: Zu jeder Strecke <math>\overline{AB}</math> existiert genau eine Strecke <math>\overline{AB^{*}}</math> mit <math>\left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right|</math> und <math>\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}</math>.<br /> | Beweisen Sie: Zu jeder Strecke <math>\overline{AB}</math> existiert genau eine Strecke <math>\overline{AB^{*}}</math> mit <math>\left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right|</math> und <math>\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}</math>.<br /> | ||
+ | == Lösung --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:00, 14. Dez. 2010 (UTC) == | ||
+ | Voraussetzung: Strecke <math>\overline{AB}\subset AB^+ </math> <br /> | ||
+ | Behauptung: es existiert genau eine Strecke <math>\overline{AB^{*}}</math> mit <math>\left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right|</math> und <math>\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}</math> <br /> | ||
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+ | | es ex. genau ein Punkt <math> B^* \in AB^+ </math> mit <math>\left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right|</math> | ||
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+ | | <math>\left| AB^{*} \right| > \left| AB \right|</math> | ||
+ | | Rechnen in <math> \mathbb{R} </math> und <math> \pi </math> > 1 | ||
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+ | | <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, B^* \right) </math> | ||
+ | | (I), (III), Def. Zw | ||
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+ | | <math>\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}</math> | ||
+ | | (IV) | ||
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+ | ==vorangegangene Lösungsversuche und Diskussionen== | ||
+ | <u>Vor:</u> <math>\overline{AB}</math> <br /> | ||
+ | <u>Beh:</u> es existiert <math>\overline{AB^{*}}</math> mit <math>\left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right|</math>;<math>\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}</math>.<br /> | ||
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− | + | 1)<math>\overline{AB}</math>__________________________________laut Vor<br /> | |
+ | 2) es existiert g: <math>A \in g</math> und <math>B \in g</math>_____Axiom I/1<br /> | ||
+ | 3) es existiert ein Strahl AB+______________________Def. Strahl<br /> | ||
+ | 4) Auf dem Strahl AB+ mit dem Anfangspunkt A______________________Axiom vom Lineal<br /> | ||
+ | existiert genau ein Punkt B* für den gilt:<br /> | ||
+ | <math>\left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right|</math><br /> | ||
+ | 5) Zw(A,B, B*), da <math>\pi </math> größer als 1 ist gilt:_____________4)<br /> | ||
+ | <math>\overline{AB^{*}}</math> größer als <math>\overline{AB}</math><br /> | ||
+ | 6)<math>\left| AB \right|</math>+ <math>\left|BB^{*}\right|</math> =<math>\left|AB^{*}\right|</math>___________Def. Zw und 5<br /> | ||
+ | 7)<math>\overline{AB}</math> für die gilt: (P/ Zw(A,P,B)<math>\cup</math>(A,B)________________Def. Strecke und 6)<br /> | ||
+ | 8)<math>\overline{AB^{*}}</math> für die gilt:(<math>\overline{AB}</math><math>\cup</math> (P/ Zw(B,P,B*))______Def. Strecke<br /> | ||
+ | 9)<math>\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}</math>.<br /> | ||
+ | 10)Behauptung stimmt--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 19:14, 30. Nov. 2010 (UTC) | ||
+ | <br /> | ||
+ | <br /> | ||
+ | Rückfragen zu diesem Beweis:<br /> | ||
+ | Woher weiß man, dass die drei Punkte auf ein und derselben Halbgerade liegen? Ist das nicht schon die Behauptung?<br /> | ||
+ | das ergibt sich aus 3) und 4)--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:00, 14. Dez. 2010 (UTC) | ||
+ | Wozu dient Schritt 6)?<br />--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 14:48, 7. Dez. 2010 (UTC)<br /> | ||
+ | richtig, dieser Schritt ist überflüssig - siehe Lösung oben--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:00, 14. Dez. 2010 (UTC) | ||
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+ | [[Category:Einführung_Geometrie]] |
Aktuelle Version vom 14. Dezember 2010, 16:00 Uhr
Beweisen Sie: Zu jeder Strecke existiert genau eine Strecke
mit
und
.
Lösung --Schnirch 14:00, 14. Dez. 2010 (UTC)
Voraussetzung: Strecke
Behauptung: es existiert genau eine Strecke mit
und
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | es ex. genau ein Punkt ![]() ![]() |
Axiom III.1 |
(II) | ![]() |
(I), Def. Strecke |
(III) | ![]() |
Rechnen in ![]() ![]() |
(IV) | ![]() |
(I), (III), Def. Zw |
(V) | ![]() |
(IV) |
vorangegangene Lösungsversuche und Diskussionen
Vor:
Beh: es existiert mit
;
.
1)__________________________________laut Vor
2) es existiert g: und
_____Axiom I/1
3) es existiert ein Strahl AB+______________________Def. Strahl
4) Auf dem Strahl AB+ mit dem Anfangspunkt A______________________Axiom vom Lineal
existiert genau ein Punkt B* für den gilt:
5) Zw(A,B, B*), da größer als 1 ist gilt:_____________4)
größer als
6)+
=
___________Def. Zw und 5
7) für die gilt: (P/ Zw(A,P,B)
(A,B)________________Def. Strecke und 6)
8) für die gilt:(
(P/ Zw(B,P,B*))______Def. Strecke
9).
10)Behauptung stimmt--Engel82 19:14, 30. Nov. 2010 (UTC)
Rückfragen zu diesem Beweis:
Woher weiß man, dass die drei Punkte auf ein und derselben Halbgerade liegen? Ist das nicht schon die Behauptung?
das ergibt sich aus 3) und 4)--Schnirch 14:00, 14. Dez. 2010 (UTC)
Wozu dient Schritt 6)?
--Jbo-sax 14:48, 7. Dez. 2010 (UTC)
richtig, dieser Schritt ist überflüssig - siehe Lösung oben--Schnirch 14:00, 14. Dez. 2010 (UTC)