Lösung von Aufg. 7.4: Unterschied zwischen den Versionen

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Beweisen Sie: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte.<br />
 
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2 der vier Punkte liegen in der Ebene <math>\epsilon</math><br />
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<math>A \in\epsilon </math> ,<math>B \in\epsilon </math><br />
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1) <math>A \in\epsilon </math> , <math>B \in\epsilon </math>, <math>C \notin\epsilon </math> und <math>D \notin\epsilon </math><br />
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2)<math>\operatorname{nkoll} \left( ABC \right)</math> <math>\rightarrow</math> <math>\delta_1</math> ________Lemma 3 und Axiom I/4<br />
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3)<math>D \notin\delta_1 </math>__________________wegen nkomp(A,B,C,D)<br />
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4)<math>\operatorname{nkoll} \left( BCD \right)</math> <math>\rightarrow</math> <math>\delta_2</math> ___________3)<br />
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5)<math>A \notin\delta_2 </math>________________wegen nkomp(A,B,C,D)<br />
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6)<math>B \in\delta_2 </math> und <math>B \in\epsilon </math>____________2) und 4)<br />
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7)<math>\exists P</math> ,<math>P \in\epsilon </math>,<math>P \in\delta_2 </math>________6) und Axiom I/6
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bleibt zu zeigen : <math>A\not\equiv P</math><br />
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Annahmne:<math>A\equiv P</math><br /> 
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<u><math>\delta_1</math></u>: <math>P \in\delta_1 </math>, <math>B \in\delta_1 </math>, <math>C \in\delta_1 </math><br /> 
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<u><math>\delta_2</math></u>: <math>P \in\delta_2 </math>, <math>C \in\delta_2 </math>, <math>B \in\delta_2 </math><br />
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daraus folgt <math>\delta_1</math>  <math>\equiv </math> <math>\delta_1</math> <math>\rightarrow</math> komp(A,B,C,D)<br />
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8) Widerspruch zur Vorraussetzung nkomp(A,B,C,D)
  
 
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<u>3.Fall:</u><br />
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1)<math>A \in\epsilon </math> <br />
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2)<math>A,B,D \in\beta </math>__________________Axiom I/4 und Lemma 3<br />
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3)<math>A,C,D \in\gamma </math> ________________Axiom I/4 und Lemma 3<br />
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4)<math>\beta</math><math>\not\equiv </math><math>\gamma</math>_____________da sonst<math>A,B,C,D \in\beta </math> Widerspruch zur nkomp(A,B,C,D)<br />
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5)<math>A \in\beta </math>, <math>A \in\gamma </math>__________2) und 3)<br />
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6)<math>\exists P_1</math>, <math>P_1 \in\epsilon </math>, <math>P_1 \in\beta </math> ___________Axiom I/6<br />
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7)<math>\exists P_2</math>, <math>P_2 \in\epsilon </math>, <math>P_21 \in\gamma </math>___________Axiom I/6<br />
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zu zeigen: <math>P_1\not\equiv P_2</math><br /> 
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Annahme: P1 =P2<br />
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8) A, D und <math>P_1=P_2 \in\beta </math><br />
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9) A, D und <math>P_1=P_2 \in\gamma </math><br />
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10)<math>\beta</math>= <math>\gamma</math><br />
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11) Widerspruch zu 4)<br />
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<math>\rightarrow</math> A,P1,P2 sind drei paarweise verschiedene Punkte in <math>\epsilon </math>
  
 
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Keine der vier Punkte ist Element von <math>\epsilon</math><br />
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<math>\epsilon</math> enthält einen Punkt________nach Axiom I/4<br />
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<math>\rightarrow</math> Fall 3
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Aktuelle Version vom 17. Dezember 2010, 15:26 Uhr

Beweisen Sie: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte.

Vor: Ebene \epsilon,nkomp(A,B,C,D)
Beh: \epsilon enthält weinigstens drei paarweise verschiedene Punkte

Fall 1:
3 der vier Punkte liegen in der Ebene \epsilon\rightarrow trivial


DSC02782.JPG

Fall 2:
2 der vier Punkte liegen in der Ebene \epsilon
A \in\epsilon ,B \in\epsilon
1) A \in\epsilon , B \in\epsilon , C \notin\epsilon und D \notin\epsilon
2)\operatorname{nkoll} \left( ABC \right) \rightarrow \delta_1 ________Lemma 3 und Axiom I/4
3)D \notin\delta_1 __________________wegen nkomp(A,B,C,D)
4)\operatorname{nkoll} \left( BCD \right) \rightarrow \delta_2 ___________3)
5)A \notin\delta_2 ________________wegen nkomp(A,B,C,D)
6)B \in\delta_2 und B \in\epsilon ____________2) und 4)
7)\exists P ,P \in\epsilon ,P \in\delta_2 ________6) und Axiom I/6

bleibt zu zeigen : A\not\equiv P
Annahmne:A\equiv P
\delta_1: P \in\delta_1 , B \in\delta_1 , C \in\delta_1
\delta_2: P \in\delta_2 , C \in\delta_2 , B \in\delta_2
daraus folgt \delta_1 \equiv \delta_1 \rightarrow komp(A,B,C,D)
8) Widerspruch zur Vorraussetzung nkomp(A,B,C,D)

DSC02856.JPG

DSC02860.JPG


3.Fall:
1)A \in\epsilon
2)A,B,D \in\beta __________________Axiom I/4 und Lemma 3
3)A,C,D \in\gamma ________________Axiom I/4 und Lemma 3
4)\beta\not\equiv \gamma_____________da sonstA,B,C,D \in\beta Widerspruch zur nkomp(A,B,C,D)
5)A \in\beta , A \in\gamma __________2) und 3)
6)\exists P_1, P_1 \in\epsilon , P_1 \in\beta ___________Axiom I/6
7)\exists P_2, P_2 \in\epsilon , P_21 \in\gamma ___________Axiom I/6

zu zeigen: P_1\not\equiv P_2
Annahme: P1 =P2
8) A, D und P_1=P_2 \in\beta
9) A, D und P_1=P_2 \in\gamma
10)\beta= \gamma
11) Widerspruch zu 4)
\rightarrow A,P1,P2 sind drei paarweise verschiedene Punkte in \epsilon

DSC02849.JPG

DSC02848.JPG

Fall 4:
Keine der vier Punkte ist Element von \epsilon
\epsilon enthält einen Punkt________nach Axiom I/4
\rightarrow Fall 3