Lösung von Aufg. 7.4: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 17. Dezember 2010, 16:26 Uhr

Beweisen Sie: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte.

Vor: Ebene $\epsilon$ ,nkomp(A,B,C,D)
Beh: $\epsilon$ enthält weinigstens drei paarweise verschiedene Punkte

Fall 1:
3 der vier Punkte liegen in der Ebene $\epsilon$ $\rightarrow$ trivial

Fall 2:
2 der vier Punkte liegen in der Ebene $\epsilon$
$A \in\epsilon$ , $B \in\epsilon$
1) $A \in\epsilon$ , $B \in\epsilon$ , $C \notin\epsilon$ und $D \notin\epsilon$
2) $\operatorname{nkoll} \left( ABC \right)$ $\rightarrow$ $\delta_1$ ________Lemma 3 und Axiom I/4
3) $D \notin\delta_1$ __________________wegen nkomp(A,B,C,D)
4) $\operatorname{nkoll} \left( BCD \right)$ $\rightarrow$ $\delta_2$ ___________3)
5) $A \notin\delta_2$ ________________wegen nkomp(A,B,C,D)
6) $B \in\delta_2$ und $B \in\epsilon$ ____________2) und 4)
7) $\exists P$ , $P \in\epsilon$ , $P \in\delta_2$ ________6) und Axiom I/6

bleibt zu zeigen : $A\not\equiv P$
Annahmne: $A\equiv P$
$\delta_1$ : $P \in\delta_1$ , $B \in\delta_1$ , $C \in\delta_1$
$\delta_2$ : $P \in\delta_2$ , $C \in\delta_2$ , $B \in\delta_2$
daraus folgt $\delta_1$ $\equiv$ $\delta_1$ $\rightarrow$ komp(A,B,C,D)
8) Widerspruch zur Vorraussetzung nkomp(A,B,C,D)

3.Fall:
1) $A \in\epsilon$
2) $A,B,D \in\beta$ __________________Axiom I/4 und Lemma 3
3) $A,C,D \in\gamma$ ________________Axiom I/4 und Lemma 3
4) $\beta$ $\not\equiv$ $\gamma$ _____________da sonst $A,B,C,D \in\beta$ Widerspruch zur nkomp(A,B,C,D)
5) $A \in\beta$ , $A \in\gamma$ __________2) und 3)
6) $\exists P_1$ , $P_1 \in\epsilon$ , $P_1 \in\beta$ ___________Axiom I/6
7) $\exists P_2$ , $P_2 \in\epsilon$ , $P_21 \in\gamma$ ___________Axiom I/6

zu zeigen: $P_1\not\equiv P_2$
Annahme: P1 =P2
8) A, D und $P_1=P_2 \in\beta$
9) A, D und $P_1=P_2 \in\gamma$
10) $\beta$ = $\gamma$
11) Widerspruch zu 4)
$\rightarrow$ A,P1,P2 sind drei paarweise verschiedene Punkte in $\epsilon$

Fall 4:
Keine der vier Punkte ist Element von $\epsilon$
$\epsilon$ enthält einen Punkt________nach Axiom I/4
$\rightarrow$ Fall 3

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 )<math>A \notin\delta_2 </math>________________wegen nkomp(A,B,C,D)<br />
 )<math>B \in\delta_2 </math> und <math>B \in\epsilon </math>____________2) und 4)<br />
-)<math>\exists P</math> ,<math>P \in\epsilon </math>,<math>A \in\delta_2 </math>________6) und Axiom I/6
+)<math>\exists P</math> ,<math>P \in\epsilon </math>,<math>P \in\delta_2 </math>________6) und Axiom I/6
 bleibt zu zeigen : <math>A\not\equiv P</math><br />
+Annahmne:<math>A\equiv P</math><br />
 <u><math>\delta_1</math></u>: <math>P \in\delta_1 </math>, <math>B \in\delta_1 </math>, <math>C \in\delta_1 </math><br />
 <u><math>\delta_2</math></u>: <math>P \in\delta_2 </math>, <math>C \in\delta_2 </math>, <math>B \in\delta_2 </math><br />
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 )<math>\beta</math><math>\not\equiv </math><math>\gamma</math>_____________da sonst<math>A,B,C,D \in\beta </math> Widerspruch zur nkomp(A,B,C,D)<br />
 )<math>A \in\beta </math>, <math>A \in\gamma </math>__________2) und 3)<br />
-)<math>\exists P_1</math>, <math>P_1 \in\epsilon </math>, <math>P_1 \in\beta </math> ___________Axiom I/4<br />
+)<math>\exists P_1</math>, <math>P_1 \in\epsilon </math>, <math>P_1 \in\beta </math> ___________Axiom I/6<br />
-)<math>\exists P_2</math>, <math>P_2 \in\epsilon </math>, <math>P_21 \in\gamma </math>___________Axiom I/4<br />
+)<math>\exists P_2</math>, <math>P_2 \in\epsilon </math>, <math>P_21 \in\gamma </math>___________Axiom I/6<br />
 zu zeigen: <math>P_1\not\equiv P_2</math><br />

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