Lösung von Aufg. 11.3: Unterschied zwischen den Versionen
Aus Geometrie-Wiki
(Die Seite wurde neu angelegt: Beweisen Sie Satz VII.6 a: ::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zu den Endpunkten der Strecke <math>\overline{AB}</math> jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ...) |
|||
(3 dazwischenliegende Versionen von einem Benutzer werden nicht angezeigt) | |||
Zeile 4: | Zeile 4: | ||
[[Category:Einführung_Geometrie]] | [[Category:Einführung_Geometrie]] | ||
+ | |||
+ | <p>--------------------------------------------------------------------</p> | ||
+ | |||
+ | <p>'''Voraussetzung:'''Es sei eine Strecke <math> \overline{AB} </math> und ein Punkt P mit <math> \overline{PA} \cong \overline{PB} </math></p><br /> | ||
+ | |||
+ | <p>'''Behauptung:''' <math>P \in m</math> , m ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math></p><br /> | ||
+ | |||
+ | <p>Fall 1: koll(A,B,P)[[Bild:PMPAB.JPG]]<br />Fall 2: nkoll(A,B,P)[[Bild:PAcongPB113.JPG]]</p><br /> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | {| class="wikitable " | ||
+ | |+ Beweis zu Fall 1 | ||
+ | ! style="background: #A2CD5A;" |Nr. | ||
+ | ! style="background: #A2CD5A;" |Beweisschritt | ||
+ | ! style="background: #A2CD5A;" |Begründung | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #EEE685;"|(I) | ||
+ | | P ist Mittelpunkt von <math>\overline{AB}</math> | ||
+ | | Vor.(<math> \overline{PA} \cong \overline{PB} </math>),Def.III.1 (Mittelpunkt) | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #EEE685;"|(II) | ||
+ | | <math>P \in m</math> | ||
+ | | I, Def VI.1(Mittelsenkrechte) | ||
+ | |- | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | {| class="wikitable " | ||
+ | |+ Beweis zu Fall 2 | ||
+ | ! style="background: #A2CD5A;" |Nr. | ||
+ | ! style="background: #A2CD5A;" |Beweisschritt | ||
+ | ! style="background: #A2CD5A;" |Begründung | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #EEE685;"|(I) | ||
+ | | <math>\triangle ABP</math> ist gleichschenklig | ||
+ | | Vor.(<math> \overline{PA} \cong \overline{PB} </math>), Def.VII.4 (gleichschenkliges Dreieck) | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #EEE685;"|(II) | ||
+ | | <math>\angle PBA \cong \angle BAP</math> | ||
+ | | I, Satz VII.5 (Basiswinkelsatz) | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #EEE685;"|(III) | ||
+ | | <math>\exists ! M \in \overline{AB} : \overline{MA} \cong \overline{MB}</math> | ||
+ | | Satz III.1(Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkts), Def.III.1 (Mittelpunkt) | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #EEE685;"|(IV) | ||
+ | | <math>\triangle AMP \cong \triangle MBP</math> | ||
+ | | II, III, Vor.(<math> \overline{PA} \cong \overline{PB} </math>), Axiom V (SWS) | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #EEE685;"|(V) | ||
+ | | <math>\angle PMA \cong \angle BMP</math> | ||
+ | | IV, Def.VII.3 (Dreieckskongruenz) | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #EEE685;"|(VI) | ||
+ | | <math>\angle PMA , \angle BMP</math> sind Nebenwinkel | ||
+ | | IV, Def.V.4 (Nebenwinkel) | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #EEE685;"|(VII) | ||
+ | | <math>| \angle PMA | = | \angle BMP | = 90^{\circ}</math> | ||
+ | | V, VI, Def V.6 (rechter Winkel) | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #EEE685;"|(VIII) | ||
+ | | <math>\overline{MP} \bot \overline{AB}</math> | ||
+ | | VII, Def.V.9 (noch mehr Senkrecht) | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #EEE685;"|(IX) | ||
+ | | <math>\overline{MP} \subset m</math> | ||
+ | | III, VIII, Def.VI.1 (Mittelsenkrechte) | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #EEE685;"|(X) | ||
+ | | <math>P \in m</math> | ||
+ | | IX | ||
+ | |- | ||
+ | |||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | '''qed.'''<br /> | ||
+ | |||
+ | --[[Benutzer:Studentxyz|Studentxyz]] 17:58, 17. Jan. 2011 (UTC) | ||
+ | <p>--------------------------------------------------------------------</p> | ||
+ | klasse Beweis, sehr schön!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:06, 25. Jan. 2011 (UTC) |
Aktuelle Version vom 25. Januar 2011, 15:06 Uhr
Beweisen Sie Satz VII.6 a:
- Wenn ein Punkt zu den Endpunkten der Strecke jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von .
--------------------------------------------------------------------
Voraussetzung:Es sei eine Strecke und ein Punkt P mit
Behauptung: , m ist Mittelsenkrechte von
Fall 1: koll(A,B,P)
Fall 2: nkoll(A,B,P)
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | P ist Mittelpunkt von | Vor.(),Def.III.1 (Mittelpunkt) |
(II) | I, Def VI.1(Mittelsenkrechte) |
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | ist gleichschenklig | Vor.(), Def.VII.4 (gleichschenkliges Dreieck) |
(II) | I, Satz VII.5 (Basiswinkelsatz) | |
(III) | Satz III.1(Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkts), Def.III.1 (Mittelpunkt) | |
(IV) | II, III, Vor.(), Axiom V (SWS) | |
(V) | IV, Def.VII.3 (Dreieckskongruenz) | |
(VI) | sind Nebenwinkel | IV, Def.V.4 (Nebenwinkel) |
(VII) | V, VI, Def V.6 (rechter Winkel) | |
(VIII) | VII, Def.V.9 (noch mehr Senkrecht) | |
(IX) | III, VIII, Def.VI.1 (Mittelsenkrechte) | |
(X) | IX |
qed.
--Studentxyz 17:58, 17. Jan. 2011 (UTC)
--------------------------------------------------------------------
klasse Beweis, sehr schön!--Schnirch 14:06, 25. Jan. 2011 (UTC)