Lösung von Aufgabe 3.5 (SoSe11): Unterschied zwischen den Versionen

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Ich meinte die Winkel <math>\angle (A,M,X)</math> und <math>\angle (B,M,X)</math>, habe sie falsch bezeichnet. Habs im Text berichtigt. --[[Benutzer:Matthias|Matthias]] 15:30, 4. Mai 2011 (CEST)
 
Ich meinte die Winkel <math>\angle (A,M,X)</math> und <math>\angle (B,M,X)</math>, habe sie falsch bezeichnet. Habs im Text berichtigt. --[[Benutzer:Matthias|Matthias]] 15:30, 4. Mai 2011 (CEST)
  
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Möglichkeit über Kongruenzsatz SsW:<br />
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Die Voraussetzung aus Schritt 2 bleibt wie oben identisch, das zu zeigende Element des Beweises (Behauptung) logischerweise auch.
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| Beweisschritt || Behauptung
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| 1) <math>\overline{AX}</math> ist kongruent zu <math>\overline{BX}</math><br /> 2) <math>\overline{MX}</math> ist kongruent zu <math>\overline{MX}</math><br /> 3) <math>\angle (A, M, X)</math> ist kongruent zu <math>\angle (X, M, B)</math><br /> 4) Dreieck <math>\overline{AMX}</math> ist kongruent zu Dreieck <math>\overline{BMX}</math><br /> 5) <math>\angle (A,M,X)</math> ist kongruent zu <math>\angle (B,M,X)</math> || Voraussetzung<br />trivial<br />Voraussetzung, rechter Winkel, g senkrecht auf Strecke AB<br />Kongruenzsatz SsW, 1-3<br />4
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|}<br />→Jeder Punkt X mit dem gleichen Abstand zu A und B liegt auf der Mittelsenkrechten --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 17:19, 4. Mai 2011 (CEST)<br />
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<span style="color:navy"> Richtig, so kann man diesen Teil auch beweisen. Wenn man allerdings den Kongruenzsatz SsW benutzt, ist es besser man begründet in einem Schritt (hier 3b)), dass gilt <math>\overline{MX}</math> < <math>\overline{AX}</math>. Wie lautet die Begründung?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 15:37, 6. Mai 2011 (CEST)
  
 
[[Category:Einführung_Geometrie]]
 
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Aktuelle Version vom 6. Mai 2011, 14:37 Uhr

Der Begriff Mittelsenkrechte sei folgendermaßen definiert:
Die Mittelsenkrechte einer Strecke \overline{AB} ist die Gerade g, die durch den Mittelpunkt von \overline{AB} verläuft und zu dieser Strecke \overline{AB} senkrecht steht.
Beweisen Sie folgenden Satz:
Die Mittelsenkrechte m einer beliebigen Strecke \overline{AB} ist die Menge aller Punkte P, die von A und B denselben Abstand haben:
(Beachten Sie, dass auch dieser Beweis wieder aus zwei Teilen besteht analog zur Aufgabe 3.4).

Lösung: Schritt 1 Voraussetzung: \overline{AB} mit Mittelpunkt M, Mittelsenkrechte m und ein beliebiger Punkt P, wobei P ԑ m
Behauptung: zu zeigen: \overline{PA} ist kongruent zu \overline{PB}

Beweisschritt Behauptung
1) \overline{MA} ist kongruent zu \overline{MB}
2) \overline{MP} ist kongruent zu \overline{MP}
3) \angle (A,M,P) ist kongruent zu \angle (B,M,P)
4) Dreieck \overline{AMP} ist kongruent zu Dreieck \overline{BMP}
5) \overline{PA} ist kongruent zu \overline{PB}		 Voraussetzung, Def. Mittelpunkt
trivial
Voraussetzung, Definition Mittelsenkrechte
Kongruenzsatz SWS, 1-3
5

→Jeder Punkt P auf der Geraden g hat den gleichen Abstand zu A und B

Schritt 2: Voraussetzung: \overline{AB} mit Mittelpunkt M, Mittelsenkrechte m und ein beliebiger Punkt X, für den gilt \overline{XA} ist kongruent zu \overline{XB}
Behauptung: zu zeigen: \angle (M,A,X) ist kongruent zu \angle (M,B,X)

Beweisschritt Behauptung
1) \overline{AX} ist kongruent zu \overline{BX}
2) \overline{MX} ist kongruent zu \overline{MX}
3) \overline{AM} ist kongruent zu \overline{BM}
4) Dreieck \overline{AMX} ist kongruent zu Dreieck \overline{BMX}
5) \angle (A,M,X) ist kongruent zu \angle (B,M,X) 		Voraussetzung
trivial
Voraussetzung, Def. Mittelpunkt
Kongruenzsatz SSS, 1-3
4

→Jeder Punkt X mit dem gleichen Abstand zu A und B liegt auf der Mittelsenkrechten g--Matthias 19:16, 27. Apr. 2011 (CEST)

Wozu zeigst du Matthias in Schritt 2, dass \angle (M,A,X) \cong \angle (M,B,X) ist(Behauptung 2) ?
Die benannten Winkel entsprechen alpha und betha bei ülicher Bezeichung im Dreieck. Oder meinst du vllt andere Winkel? --Tutorin Anne 19:16, 30. Apr. 2011 (CEST)
Ich meinte die Winkel \angle (A,M,X) und \angle (B,M,X), habe sie falsch bezeichnet. Habs im Text berichtigt. --Matthias 15:30, 4. Mai 2011 (CEST)


Möglichkeit über Kongruenzsatz SsW:
Die Voraussetzung aus Schritt 2 bleibt wie oben identisch, das zu zeigende Element des Beweises (Behauptung) logischerweise auch.


Beweisschritt Behauptung
1) \overline{AX} ist kongruent zu \overline{BX}
2) \overline{MX} ist kongruent zu \overline{MX}
3) \angle (A, M, X) ist kongruent zu \angle (X, M, B)
4) Dreieck \overline{AMX} ist kongruent zu Dreieck \overline{BMX}
5) \angle (A,M,X) ist kongruent zu \angle (B,M,X) 		Voraussetzung
trivial
Voraussetzung, rechter Winkel, g senkrecht auf Strecke AB
Kongruenzsatz SsW, 1-3
4

→Jeder Punkt X mit dem gleichen Abstand zu A und B liegt auf der Mittelsenkrechten --Flo60 17:19, 4. Mai 2011 (CEST)

Richtig, so kann man diesen Teil auch beweisen. Wenn man allerdings den Kongruenzsatz SsW benutzt, ist es besser man begründet in einem Schritt (hier 3b)), dass gilt \overline{MX} < \overline{AX}. Wie lautet die Begründung?--Tutorin Anne 15:37, 6. Mai 2011 (CEST)

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