Serie 01: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Lösungen zu den Aufgaben]]
 
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Hi Leute,<br/>
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keine Panik, ich habe eure Lösungen in die neue Seite gepackt - genau so, wie ihr sie bearbeitet habt. Ich glaub es ist besser so, da die Aufgaben für alle jederzeit bearbeitbar sind. Zumindest hat sich das System letztes Jahr in der Geometrieeinführung bewährt. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 20:36, 19. Okt. 2011 (CEST)
  
 
===Aufgabe 1.1===
 
===Aufgabe 1.1===
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::(Definition 1.1)
 
::(Definition 1.1)
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Eine Bewegung ist eine Abbildung der Ebene auf sich, bei der Streckenlängen erhalten bleiben. [[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 12:45, 19. Okt. 2011 (CEST)
 
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<math> Es \ sei \ E \ eine \ Ebene, \ \varphi \ eine \ Abbildung \ mit \ \varphi : \ E \ -> \  E.  </math><br>
 
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<math> \varphi \ heisst \ Bewegung \ genau \ dann, \ wenn \ \varphi \ laengenerhaltend \ ist. </math><br>
 
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--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 12:46, 19. Okt. 2011 (CEST)<br>
 
  
 
===Aufgabe 1.2===
 
===Aufgabe 1.2===
 
::Definieren Sie die Begriffe ''injektiv'' und ''surjektiv''
 
::Definieren Sie die Begriffe ''injektiv'' und ''surjektiv''
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''injektiv'': Es seien eine Ausgangsmenge M und eine Zielmenge N. Injektivität ist dann gegeben, wenn gilt: Jedes Element der Menge M kann einem Element der Zielmenge N eindeutig zugeordnet werden.
 
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''surjektiv'': Es seien eine Ausgangsmenge M und eine Zielmenge N. Surjektivität ist dann gegeben, wenn gilt: Jedes Element der Zielmenge N besitzt mindestens ein Urbild in der Ausgangsmenge M. [[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 12:48, 19. Okt. 2011 (CEST)
 
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::Definieren Sie die Begriffe ''injektiv'' und ''surjektiv''
 
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<math> Definition\  injektiv:</math><br>
 
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<math> Es\ seien\ M_1,\ M_2\ Mengen,\ \varphi  \ eine\ Abbildung\ mit\ \varphi:\ M_1\ ->\ M_2. </math><br>
 
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<math> \varphi\  ist\ genau\ dann\ injektiv, \ wenn\ folgendes\ gilt:</math><br>
 
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<math> \varphi (x)\ = \ \varphi  (y) \Rightarrow \ x\ =\ y </math><br>
 
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In Worten heisst das nichts anderes als,  das wenn ein Element abbgebildet wird es nur ein Urbild hat.<br>
 
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Ein Gegebbeispiel wäre z.b die Normalparabel f(x) = x^2 für diese gilt f(2)= 4 = f(-2), also ist diese nicht injektiv<br>
 
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Betrachtet man nun die eingeschränkte Parabel auf D=R^+ (den rechten Ast) so ist diese injektiv.
 
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<math> Definition\ surjektiv:</math><br>
 
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<math> Es\ seien\ M_1,\ M_2\ Mengen,\ \varphi  \ eine\ Abbildung\ mit\ \varphi:\ M_1\ ->\ M_2. </math><br>
 
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<math> \varphi\  ist\ genau\ dann\ surjektiv, \ wenn\ folgendes\ gilt:</math><br>
 
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<math> \forall \ y \in M_2 \ \exist x \in  M_1\ mit\ \varphi (x) = y </math><br>
 
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Das heisst nichts anderes als, dass jedes Element in der Bildmenge "getroffen" wird, also zu jedem Element im Bildbereich ein Urbild existiert.<br>
 
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Wieder die Normalparabel: Würden wir hier M_2 = R wählen, dann würden alle negativen Zahlen nicht getroffen werden, also wäre f nicht surjektiv.
 
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Eine Einschränkung auf die positiven reellen Zahlen würde zur Surjektivität von f führen.<br>
 
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--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 13:14, 19. Okt. 2011 (CEST)
 
  
 
===Aufgabe 1.3===
 
===Aufgabe 1.3===
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| Abbildung || Umkehrabbildung
 
| Abbildung || Umkehrabbildung
 
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| <math>x^2, x\ge 0</math> || Wurzel(x) , x \ge 0 (Sorry für die Schreibweise!) -[[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 13:11, 19. Okt. 2011 (CEST)
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| <math>x^2, x\ge 0</math> ||  
 
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|<math>\sin (x), 0 \le x \ge 1</math> ||<math> \arcsin (x) </math> -[[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 13:11, 19. Okt. 2011 (CEST)
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|<math>\sin (x), -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}</math>||
 
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|Drehung um Z mit Drehwinkel <math> \alpha </math>|| Drehung um Z mit dem Drehwinkel <math> - \alpha </math>. -[[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 13:11, 19. Okt. 2011 (CEST)
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|Drehung um Z mit Drehwinkel <math> \alpha </math>||  
 
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|Spiegelung an der Geraden <math> s </math>|| bleibt gleich -[[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 13:11, 19. Okt. 2011 (CEST)
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|Spiegelung an der Geraden <math> s </math>||  
 
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Ich habe ein Problem mit der Aufgabenstellung in der zweiten Zeile. Müsste es nicht heißen <math>0 \le x \le \pi</math> ?<br />
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--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:45, 26. Okt. 2011 (CEST)<br />
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OK, also  <math>-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}</math> beim Arkussinus und <math>0 \le x \le \pi</math> beim Arkuskosinus, alles klar.<br />
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--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 11:59, 27. Okt. 2011 (CEST)<br /><br />
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Sie haben völlig Recht. Beim Schreiben der Aufgabe war ich in Gedanken wohl beim Wertebereich der Funktion <math>\sin (x)</math>.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 13:39, 3. Nov. 2011 (CET)
  
 
===Aufgabe 1.4===
 
===Aufgabe 1.4===
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<math>\beta_2 \circ  \beta_1</math> ist eine Bewegung.
 
<math>\beta_2 \circ  \beta_1</math> ist eine Bewegung.
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<math> Es\ seien\ M_1,\ M_2,\ M_3\ Ebenen, P,Q \in M_1\ .</math><br>
 
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<math> \beta_1,\ \beta_2 \ mit \ \beta1 : M_1 ->M_2 \ und \ \beta_2 : M_2 -> M_3 \ Bewegungen,\ d () \ sei\ die\ Abstandsfunktion </math><br>
 
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<math> zz.:\ \beta_3 := \beta_2 \circ  \beta_1 \ ist\ eine\ Bewegung,\ also\ d( \beta_3(P),\beta_3(Q)) \ = \ d(P,Q) </math><br><br>
 
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<math> Beweis:</math><br><br>
 
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<math> Es\ gilt\ nach\ Voraussetzung:</math><br>
 
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<math> d(P, Q)\ = \ d(\beta_1(P),\beta_1(Q)) \ , da \ \beta_1 \ eine\ Bewegung\  ist. \(*)</math> <br>
 
−
<math> d(\beta_1(P),\beta_1(Q) \ = \ d( \beta_2( \beta_1 ( P)), \beta_2( \beta_1(Q))) \ , da \ \beta_2 \ eine\ Bewegung\ ist \ (**). </math><br>
 
−
<math> aus\ (*) \ und\ (**) \Rightarrow \ d (P,Q) \ = \ d( \beta_3(P), \beta_3(Q) \ \Rightarrow \beta_3 \ ist \ eine \ Bewegung </math><br>
 
−
--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 13:35, 19. Okt. 2011 (CEST)
 

Aktuelle Version vom 3. November 2011, 13:40 Uhr

Lösungen zu den Aufgaben

Hi Leute,
keine Panik, ich habe eure Lösungen in die neue Seite gepackt - genau so, wie ihr sie bearbeitet habt. Ich glaub es ist besser so, da die Aufgaben für alle jederzeit bearbeitbar sind. Zumindest hat sich das System letztes Jahr in der Geometrieeinführung bewährt. --Flo60 20:36, 19. Okt. 2011 (CEST)

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 1.1

Definieren Sie für die ebene Geometrie den Begriff Bewegung
(Definition 1.1)

Aufgabe 1.2

Definieren Sie die Begriffe injektiv und surjektiv

Aufgabe 1.3

Ergänzen Sie die folgende Tabelle
Abbildung Umkehrabbildung
x^2, x\ge 0
\sin (x), -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}
Drehung um Z mit Drehwinkel \alpha
Spiegelung an der Geraden s

Ich habe ein Problem mit der Aufgabenstellung in der zweiten Zeile. Müsste es nicht heißen 0 \le x \le \pi ?
--Sternchen 20:45, 26. Okt. 2011 (CEST)
OK, also -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2} beim Arkussinus und 0 \le x \le \pi beim Arkuskosinus, alles klar.
--Sternchen 11:59, 27. Okt. 2011 (CEST)

Sie haben völlig Recht. Beim Schreiben der Aufgabe war ich in Gedanken wohl beim Wertebereich der Funktion \sin (x).--*m.g.* 13:39, 3. Nov. 2011 (CET)

Aufgabe 1.4

Beweisen Sie Satz 1.2

Es seien \beta_1 und \beta_2 zwei Bewegungen.

zu zeigen:

\beta_2 \circ \beta_1 ist eine Bewegung.

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