Drehungen, Drehungen als Bewegungen mit genau einem Fixpunkt (2011/12): Unterschied zwischen den Versionen
HecklF (Diskussion | Beiträge) (→zum Einstieg ein kurzes Quiz) |
(→Ein' hab ich noch!) |
||
(6 dazwischenliegende Versionen von 2 Benutzern werden nicht angezeigt) | |||
Zeile 3: | Zeile 3: | ||
<quiz display="simple"> | <quiz display="simple"> | ||
{Welche Aussagen treffen auf die Drehung zu?} | {Welche Aussagen treffen auf die Drehung zu?} | ||
− | + (a) Die NAF | + | + (a) Die NAF zweier Spiegelungen an zueinander nicht parallelen Geraden ist eine Drehung. |
|| Irgendwie einleuchtend. | || Irgendwie einleuchtend. | ||
+ (b) Es gibt Drehungen mit mehr als einem Fixpunkt. | + (b) Es gibt Drehungen mit mehr als einem Fixpunkt. | ||
|| Nämlich die Drehung mit dem Drehwinkel <math>\alpha = 360</math> | || Nämlich die Drehung mit dem Drehwinkel <math>\alpha = 360</math> | ||
− | - (c) Seien B das Drehzentrum und A und | + | - (c) Seien B das Drehzentrum und A und C zwei Punkte <math>\neq</math> B. Nach Definition muss jeder Winkel <math>\angle ABC = \angle A'BC'</math> sein. |
− | || Nein, es muss gelten: <math>\angle ABA' = \angle CBC'</math> | + | || Nein, es muss (nach unserer Definition) gelten: <math>\angle ABA' = \angle CBC'</math> |
− | + (f) Die NAF | + | || Nachtrag: Die Aussage "jeder Winkel <math>\angle ABC = \angle A'BC'</math>" ist zwar korrekt, geht aber noch nicht direkt aus der Definition hervor. Dumm nur, dass das Quiz hier vor der Definition steht, auf die Bezug genommen wird. ~~~~ |
+ | + (f) Die NAF zweier Spiegelungen an zueinander parallelen Geraden ist keine Drehung. | ||
|| Irgendwie noch viel einleuchtender als vorher. | || Irgendwie noch viel einleuchtender als vorher. | ||
+ (h) Es gibt unendlich viele Drehungen mit mehr als einem Fixpunkt. | + (h) Es gibt unendlich viele Drehungen mit mehr als einem Fixpunkt. | ||
Zeile 21: | Zeile 22: | ||
Seien Z ein Punkt der Ebene <math>\epsilon</math> und <math>\alpha</math> ein gerichteter Winkel.<br /> | Seien Z ein Punkt der Ebene <math>\epsilon</math> und <math>\alpha</math> ein gerichteter Winkel.<br /> | ||
Die Drehung mit dem Drehwinkel <math>\alpha</math> um das Drehzentrum Z ist eine Abbildung der Ebene auf sich, für die gilt:<br /> | Die Drehung mit dem Drehwinkel <math>\alpha</math> um das Drehzentrum Z ist eine Abbildung der Ebene auf sich, für die gilt:<br /> | ||
− | + | * Z = Z' | |
− | + | * <math>\forall P \in \epsilon : |ZP| = |Z'P'|</math> | |
− | + | * <math>\forall P, Q \in \epsilon : \angle PZP' = \angle QZQ'</math> | |
--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 20:52, 19. Nov. 2011 (CET) | --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 20:52, 19. Nov. 2011 (CET) | ||
+ | |||
==Ein' hab ich noch!== | ==Ein' hab ich noch!== | ||
Im folgenden wollen wir folgendes Kriterium beweisen, das uns zeigt, dass der Drehung ein Fixpunkt genügt. Dafür müssen wir natürlich die Identität (d. h. jegliche Drehungen um 360°n mit n <math>\in</math> |N) ausschließen. Der Satz lautet wie folgt: | Im folgenden wollen wir folgendes Kriterium beweisen, das uns zeigt, dass der Drehung ein Fixpunkt genügt. Dafür müssen wir natürlich die Identität (d. h. jegliche Drehungen um 360°n mit n <math>\in</math> |N) ausschließen. Der Satz lautet wie folgt: | ||
Zeile 32: | Zeile 34: | ||
<math>\varphi</math> ist Bewegung <math>\Leftrightarrow \exists ! F \in \epsilon : \varphi (F) \equiv F</math> | <math>\varphi</math> ist Bewegung <math>\Leftrightarrow \exists ! F \in \epsilon : \varphi (F) \equiv F</math> | ||
+ | |||
+ | Das müsste "Drehung" anstatt "Bewegung" heißen, gelle? [[Benutzer:Wexstabenverbuxler|Dr.plag.Schavan]] ([[Benutzer Diskussion:Wexstabenverbuxler|Diskussion]]) 18:00, 26. Jul. 2014 (CEST) | ||
Beweis: | Beweis: |
Aktuelle Version vom 26. Juli 2014, 18:00 Uhr
Zum Einstieg ein kurzes Quiz
--Flo60 20:52, 19. Nov. 2011 (CET)
Definition Drehung
Voraussetzung ebene Geometrie.
Seien Z ein Punkt der Ebene und
ein gerichteter Winkel.
Die Drehung mit dem Drehwinkel um das Drehzentrum Z ist eine Abbildung der Ebene auf sich, für die gilt:
- Z = Z'
-
-
--Flo60 20:52, 19. Nov. 2011 (CET)
Ein' hab ich noch!
Im folgenden wollen wir folgendes Kriterium beweisen, das uns zeigt, dass der Drehung ein Fixpunkt genügt. Dafür müssen wir natürlich die Identität (d. h. jegliche Drehungen um 360°n mit n |N) ausschließen. Der Satz lautet wie folgt:
Drehungskriterium
Eine Bewegung ist genau dann eine Drehung, wenn sie genau einen Fixpunkt hat.
ist Bewegung
Das müsste "Drehung" anstatt "Bewegung" heißen, gelle? Dr.plag.Schavan (Diskussion) 18:00, 26. Jul. 2014 (CEST)
Beweis:
--Flo60 20:52, 19. Nov. 2011 (CET)