Verschiebungen (2011/12): Unterschied zwischen den Versionen

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=Definition über zwei Geradenspiegelungen=
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==Definition: (Verschiebung)==
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==Definition: (Verschiebung als NAF zweier Geradenspiegelungen)==
 
::Die NAF zweier Geradenspiegelungen <math>S_b \circ S_a </math> mit <math>a || b</math> heißt Verschiebung.
 
::Die NAF zweier Geradenspiegelungen <math>S_b \circ S_a </math> mit <math>a || b</math> heißt Verschiebung.
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==Eigenschaften von Verschiebungen==
 
==Eigenschaften von Verschiebungen==
 
=== Die identische Abbildung als Verschiebung===
 
=== Die identische Abbildung als Verschiebung===
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====Satz: (<math>\operatorname{id}</math> als Verschiebung====
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====Satz: (<math>\operatorname{id}</math> als Verschiebung)====
 
::Es sei <math>V=S_b \circ S_a </math> eine Verschiebung.
 
::Es sei <math>V=S_b \circ S_a </math> eine Verschiebung.
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::Wenn <math>a||b</math>dann <math>V=\operatorname{id}</math>
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::Wenn <math>a||b</math> dann <math>V=\operatorname{id}</math>.
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====Beweis (<math>\operatorname{id}</math> als Verschiebung)====
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::Folgt unmittelbar daraus, dass jede Geradenspiegelung selbstinvers ist.
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Bringen Sie die beiden Spiegelgeraden miteinander zur Deckung.
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=== Parallelität ===
 
=== Parallelität ===
 
====Satz: (Parallelität bei Geradenspiegelungen)====
 
====Satz: (Parallelität bei Geradenspiegelungen)====
 
::Es sei <math>V=S_b \circ S_a </math> eine Verschiebung. Für jede Gerade <math>g</math> und ihr Bild <math>g'</math> bei <math>V</math> gilt: <math>g||g'</math>.
 
::Es sei <math>V=S_b \circ S_a </math> eine Verschiebung. Für jede Gerade <math>g</math> und ihr Bild <math>g'</math> bei <math>V</math> gilt: <math>g||g'</math>.
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====Beweis====
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====Beweis (Parallelität bei Geradenspiegelungen)====
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::Es sei <math>V=S_ \circ S_a</math> eine Verschiebung (<math>a||b</math>. Ferner sei <math>g</math> eine beliebige Gerade.
  
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::zu zeigen: <math>S_b \left( S_a \left(g\right) \right)=g' || g</math>
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=====Fall 1 <math>g \cap a = \{S_1\}</math>=====
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# Die Gerade <math>g</math> möge also mit der Spiegelachse <math>a</math> genau den Punkt <math>S_1</math> gemeinsam haben. Mit <math>\alpha</math> sei der Winkel zwischen den Geraden <math>a</math> und <math>g</math> bezeichnet.
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# Weil der Punkt <math>S_1</math> zu <math>a</math> gehört ist er bei <math>S_a</math> ein Fixpunkt.
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# Weil <math>S_1</math> der einzige Punkt ist, den <math>g</math> mit <math>a</math> gemeinsam hat, ist <math>S_1</math> der einzige zu <math>g</math> gehörige Fixpunkt bei <math>S_a</math>
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# Mit <math>g^*</math> sei das Bild von <math>g</math> bei der Spiegelung an <math>a</math> bezeichnet.
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# Der Winkel zwischen <math>g^*</math> und <math>a</math> sei mit <math>\alpha^*</math> bezeichnet.
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# Das Zwischenbild <math>g^*</math> kann nicht parallel zu <math>b</math> sein.
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# Dementsprechend hat <math>g^*</math> mit <math>b</math> genau einen Punkt gemeinsam. Wir bezeichnen ihn mit <math>S_2</math>.
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# Der Winkel zwischen <math>g^*</math> und <math>b</math> sei mit <math>\beta</math> bezeichnet.
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# Als Punkt der Geraden <math>b</math> ist <math>S_2</math> Fixpunkt bei <math>S_b</math>.
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# Weil <math>S_2</math> der einzige Punkt ist, den <math>g^*</math> mit <math>b</math> gemeinsam hat, ist <math>S_2</math> der einzige zu <math>g^*</math> gehörige Fixpunkt bei <math>S_b</math>.
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# Das Bild von <math>g^*</math> bei der Spiegelung an <math>b</math> sei mit <math>g^{**}</math> bezeichnet. Es ist identisch mit dem Bild <math>g'</math>von <math>g</math> bei der Verschiebung <math>S_b \circ S_a</math>.
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# Der Winkel zwischen <math>g'</math> und <math>b</math> sei mit <math>\beta^*</math> bezeichnet.
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 +
<br /><br />
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======Aufgaben:======
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======Begründen Sie 6.======
 +
 +
======Ergänzen Sie das folgende Beweisschema======
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{| class="wikitable "
 +
! Nr.
 +
! Beweisschritt
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! Begründung
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|-
 +
|(I)
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| <math>\alpha \tilde= \alpha^*</math>
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| ...
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|-
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| (II)
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| <math>\beta \tilde= \beta^*</math>
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| ...
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|-
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| (III)
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| <math>\alpha^* \tilde= \beta</math>
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| ...
 +
|-
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| (IV)
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| ...
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| ...
 +
|-
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| (V)
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| <math>g||g'</math>
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| ...
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|}
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=== Verschiebungsweite===
 
====Satz: (über die Verschiebungsweite)====
 
====Satz: (über die Verschiebungsweite)====
 
::Es sei <math>V=S_b \circ S_a </math> eine Verschiebung <math>V</math>. Für jedes Paar (Originalpunkt <math>P</math>, Bildpunkt<math> P'</math> bei <math>V</math>) gilt: <math>|PP'| = 2|ab|</math>.
 
::Es sei <math>V=S_b \circ S_a </math> eine Verschiebung <math>V</math>. Für jedes Paar (Originalpunkt <math>P</math>, Bildpunkt<math> P'</math> bei <math>V</math>) gilt: <math>|PP'| = 2|ab|</math>.
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[[Kategorie:Elementargeometrie]]

Aktuelle Version vom 7. Dezember 2011, 18:17 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Definition: (Verschiebung als NAF zweier Geradenspiegelungen)

Die NAF zweier Geradenspiegelungen S_b \circ S_a mit a || b heißt Verschiebung.

Eigenschaften von Verschiebungen

Die identische Abbildung als Verschiebung

Satz: (\operatorname{id} als Verschiebung)

Es sei V=S_b \circ S_a eine Verschiebung.
Wenn a||b dann V=\operatorname{id}.

Beweis (\operatorname{id} als Verschiebung)

Folgt unmittelbar daraus, dass jede Geradenspiegelung selbstinvers ist.



Bringen Sie die beiden Spiegelgeraden miteinander zur Deckung.

Parallelität

Satz: (Parallelität bei Geradenspiegelungen)

Es sei V=S_b \circ S_a eine Verschiebung. Für jede Gerade g und ihr Bild g' bei V gilt: g||g'.

Beweis (Parallelität bei Geradenspiegelungen)

Es sei V=S_ \circ S_a eine Verschiebung (a||b. Ferner sei g eine beliebige Gerade.
zu zeigen: S_b \left( S_a \left(g\right) \right)=g' || g
Fall 1 g \cap a = \{S_1\}
  1. Die Gerade g möge also mit der Spiegelachse a genau den Punkt S_1 gemeinsam haben. Mit \alpha sei der Winkel zwischen den Geraden a und g bezeichnet.
  2. Weil der Punkt S_1 zu a gehört ist er bei S_a ein Fixpunkt.
  3. Weil S_1 der einzige Punkt ist, den g mit a gemeinsam hat, ist S_1 der einzige zu g gehörige Fixpunkt bei S_a
  4. Mit g^* sei das Bild von g bei der Spiegelung an a bezeichnet.
  5. Der Winkel zwischen g^* und a sei mit \alpha^* bezeichnet.
  6. Das Zwischenbild g^* kann nicht parallel zu b sein.
  7. Dementsprechend hat g^* mit b genau einen Punkt gemeinsam. Wir bezeichnen ihn mit S_2.
  8. Der Winkel zwischen g^* und b sei mit \beta bezeichnet.
  9. Als Punkt der Geraden b ist S_2 Fixpunkt bei S_b.
  10. Weil S_2 der einzige Punkt ist, den g^* mit b gemeinsam hat, ist S_2 der einzige zu g^* gehörige Fixpunkt bei S_b.
  11. Das Bild von g^* bei der Spiegelung an b sei mit g^{**} bezeichnet. Es ist identisch mit dem Bild g'von g bei der Verschiebung S_b \circ S_a.
  12. Der Winkel zwischen g' und b sei mit \beta^* bezeichnet.



Aufgaben:
Begründen Sie 6.
Ergänzen Sie das folgende Beweisschema
Nr. Beweisschritt Begründung
(I) \alpha \tilde= \alpha^* ...
(II) \beta \tilde= \beta^* ...
(III) \alpha^* \tilde= \beta ...
(IV) ... ...
(V) g||g' ...

Verschiebungsweite

Satz: (über die Verschiebungsweite)

Es sei V=S_b \circ S_a eine Verschiebung V. Für jedes Paar (Originalpunkt P, Bildpunkt P' bei V) gilt: |PP'| = 2|ab|.
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