Verschiebungen (2011/12): Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 7. Dezember 2011, 19:17 Uhr

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1 Definition: (Verschiebung als NAF zweier Geradenspiegelungen)
2 Eigenschaften von Verschiebungen

Definition: (Verschiebung als NAF zweier Geradenspiegelungen)

Die NAF zweier Geradenspiegelungen $S_b \circ S_a$ mit $a || b$ heißt Verschiebung.

Eigenschaften von Verschiebungen

Die identische Abbildung als Verschiebung

Satz: ( $\operatorname{id}$ als Verschiebung)

Es sei $V=S_b \circ S_a$ eine Verschiebung.

Wenn $a||b$ dann $V=\operatorname{id}$ .

Beweis ( $\operatorname{id}$ als Verschiebung)

Folgt unmittelbar daraus, dass jede Geradenspiegelung selbstinvers ist.

Bringen Sie die beiden Spiegelgeraden miteinander zur Deckung.

Parallelität

Satz: (Parallelität bei Geradenspiegelungen)

Es sei $V=S_b \circ S_a$ eine Verschiebung. Für jede Gerade $g$ und ihr Bild $g'$ bei $V$ gilt: $g||g'$ .

Beweis (Parallelität bei Geradenspiegelungen)

Es sei $V=S_ \circ S_a$ eine Verschiebung ( $a||b$ . Ferner sei $g$ eine beliebige Gerade.

zu zeigen: $S_b \left( S_a \left(g\right) \right)=g' || g$

Fall 1 $g \cap a = \{S_1\}$

Die Gerade $g$ möge also mit der Spiegelachse $a$ genau den Punkt $S_1$ gemeinsam haben. Mit $\alpha$ sei der Winkel zwischen den Geraden $a$ und $g$ bezeichnet.
Weil der Punkt $S_1$ zu $a$ gehört ist er bei $S_a$ ein Fixpunkt.
Weil $S_1$ der einzige Punkt ist, den $g$ mit $a$ gemeinsam hat, ist $S_1$ der einzige zu $g$ gehörige Fixpunkt bei $S_a$
Mit $g^*$ sei das Bild von $g$ bei der Spiegelung an $a$ bezeichnet.
Der Winkel zwischen $g^*$ und $a$ sei mit $\alpha^*$ bezeichnet.
Das Zwischenbild $g^*$ kann nicht parallel zu $b$ sein.
Dementsprechend hat $g^*$ mit $b$ genau einen Punkt gemeinsam. Wir bezeichnen ihn mit $S_2$ .
Der Winkel zwischen $g^*$ und $b$ sei mit $\beta$ bezeichnet.
Als Punkt der Geraden $b$ ist $S_2$ Fixpunkt bei $S_b$ .
Weil $S_2$ der einzige Punkt ist, den $g^*$ mit $b$ gemeinsam hat, ist $S_2$ der einzige zu $g^*$ gehörige Fixpunkt bei $S_b$ .
Das Bild von $g^*$ bei der Spiegelung an $b$ sei mit $g^{**}$ bezeichnet. Es ist identisch mit dem Bild $g'$ von $g$ bei der Verschiebung $S_b \circ S_a$ .
Der Winkel zwischen $g'$ und $b$ sei mit $\beta^*$ bezeichnet.

Aufgaben:

Begründen Sie 6.

Ergänzen Sie das folgende Beweisschema

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$\alpha \tilde= \alpha^*$	...
(II)	$\beta \tilde= \beta^*$	...
(III)	$\alpha^* \tilde= \beta$	...
(IV)	...	...
(V)	$g\|\|g'$	...

Verschiebungsweite

Satz: (über die Verschiebungsweite)

Es sei $V=S_b \circ S_a$ eine Verschiebung $V$ . Für jedes Paar (Originalpunkt $P$ , Bildpunkt $P'$ bei $V$ ) gilt: $|PP'| = 2|ab|$ .

@@ Zeile 22: / Zeile 22: @@
 ::zu zeigen: <math>S_b \left( S_a \left(g\right) \right)=g' || g</math>
-:: =====Fall 1 <math>g \cap a = \{S\}</math>=====
+=====Fall 1 <math>g \cap a = \{S_1\}</math>=====
+# Die Gerade <math>g</math> möge also mit der Spiegelachse <math>a</math> genau den Punkt <math>S_1</math> gemeinsam haben. Mit <math>\alpha</math> sei der Winkel zwischen den Geraden <math>a</math> und <math>g</math> bezeichnet.
+# Weil der Punkt <math>S_1</math> zu <math>a</math> gehört ist er bei <math>S_a</math> ein Fixpunkt.
+# Weil <math>S_1</math> der einzige Punkt ist, den <math>g</math> mit <math>a</math> gemeinsam hat, ist <math>S_1</math> der einzige zu <math>g</math> gehörige Fixpunkt bei <math>S_a</math>
+# Mit <math>g^*</math> sei das Bild von <math>g</math> bei der Spiegelung an <math>a</math> bezeichnet.
+# Der Winkel zwischen <math>g^*</math> und <math>a</math> sei mit <math>\alpha^*</math> bezeichnet.
+# Das Zwischenbild <math>g^*</math> kann nicht parallel zu <math>b</math> sein.
+# Dementsprechend hat <math>g^*</math> mit <math>b</math> genau einen Punkt gemeinsam. Wir bezeichnen ihn mit <math>S_2</math>.
+# Der Winkel zwischen <math>g^*</math> und <math>b</math> sei mit <math>\beta</math> bezeichnet.
+# Als Punkt der Geraden <math>b</math> ist <math>S_2</math> Fixpunkt bei <math>S_b</math>.
+# Weil <math>S_2</math> der einzige Punkt ist, den <math>g^*</math> mit <math>b</math> gemeinsam hat, ist <math>S_2</math> der einzige zu <math>g^*</math> gehörige Fixpunkt bei <math>S_b</math>.
+# Das Bild von <math>g^*</math> bei der Spiegelung an <math>b</math> sei mit <math>g^{**}</math> bezeichnet. Es ist identisch mit dem Bild <math>g'</math>von <math>g</math> bei der Verschiebung <math>S_b \circ S_a</math>.
+# Der Winkel zwischen <math>g'</math> und <math>b</math> sei mit <math>\beta^*</math> bezeichnet.
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+<br /><br />
+======Aufgaben:======
+======Begründen Sie 6.======
+======Ergänzen Sie das folgende Beweisschema======
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+! Nr.
+! Beweisschritt
+! Begründung
+|-
+|(I)
+| <math>\alpha \tilde= \alpha^*</math>
+| ...
+|-
+| (II)
+| <math>\beta \tilde= \beta^*</math>
+| ...
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+| <math>\alpha^* \tilde= \beta</math>
+| ...
+|-
+| (IV)
+| ...
+| ...
+|-
+| (V)
+| <math>g||g'</math>
+| ...
+|}
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