Verschiebungen (2011/12): Unterschied zwischen den Versionen
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+ | ! Nr. | ||
+ | ! Beweisschritt | ||
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+ | |(I) | ||
+ | | <math>\alpha \tilde= \alpha^*</math> | ||
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+ | | <math>\beta \tilde= \beta^*</math> | ||
+ | | ... | ||
+ | |- | ||
+ | | (III) | ||
+ | | <math>\alpha^* \tilde= \beta</math> | ||
+ | | ... | ||
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+ | | <math>g||g'</math> | ||
+ | | ... | ||
+ | |} | ||
=== Verschiebungsweite=== | === Verschiebungsweite=== |
Aktuelle Version vom 7. Dezember 2011, 19:17 Uhr
Inhaltsverzeichnis[Verbergen] |
Definition: (Verschiebung als NAF zweier Geradenspiegelungen)
- Die NAF zweier Geradenspiegelungen
mit
heißt Verschiebung.
- Die NAF zweier Geradenspiegelungen
Eigenschaften von Verschiebungen
Die identische Abbildung als Verschiebung
Satz: (
als Verschiebung)
- Es sei
eine Verschiebung.
- Wenn
dann
.
- Es sei
Beweis (
als Verschiebung)
- Folgt unmittelbar daraus, dass jede Geradenspiegelung selbstinvers ist.
Bringen Sie die beiden Spiegelgeraden miteinander zur Deckung.
Parallelität
Satz: (Parallelität bei Geradenspiegelungen)
- Es sei
eine Verschiebung. Für jede Gerade
und ihr Bild
bei
gilt:
.
- Es sei
Beweis (Parallelität bei Geradenspiegelungen)
- Es sei
eine Verschiebung (
. Ferner sei
eine beliebige Gerade.
- Es sei
- zu zeigen:
- zu zeigen:
Fall 1 
- Die Gerade
möge also mit der Spiegelachse
genau den Punkt
gemeinsam haben. Mit
sei der Winkel zwischen den Geraden
und
bezeichnet.
- Weil der Punkt
zu
gehört ist er bei
ein Fixpunkt.
- Weil
der einzige Punkt ist, den
mit
gemeinsam hat, ist
der einzige zu
gehörige Fixpunkt bei
- Mit
sei das Bild von
bei der Spiegelung an
bezeichnet.
- Der Winkel zwischen
und
sei mit
bezeichnet.
- Das Zwischenbild
kann nicht parallel zu
sein.
- Dementsprechend hat
mit
genau einen Punkt gemeinsam. Wir bezeichnen ihn mit
.
- Der Winkel zwischen
und
sei mit
bezeichnet.
- Als Punkt der Geraden
ist
Fixpunkt bei
.
- Weil
der einzige Punkt ist, den
mit
gemeinsam hat, ist
der einzige zu
gehörige Fixpunkt bei
.
- Das Bild von
bei der Spiegelung an
sei mit
bezeichnet. Es ist identisch mit dem Bild
von
bei der Verschiebung
.
- Der Winkel zwischen
und
sei mit
bezeichnet.
Aufgaben:
Begründen Sie 6.
Ergänzen Sie das folgende Beweisschema
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | ![]() |
... |
(II) | ![]() |
... |
(III) | ![]() |
... |
(IV) | ... | ... |
(V) | ![]() |
... |
Verschiebungsweite
Satz: (über die Verschiebungsweite)
- Es sei
eine Verschiebung
. Für jedes Paar (Originalpunkt
, Bildpunkt
bei
) gilt:
.
- Es sei