Köln-Triangle: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 22. Januar 2012, 19:45 Uhr

Die oberen 20 Stockwerke und die Aussichtsplattform des KölnTriangles haben als Grundriss ein Reuleaux Dreieck: Es sei $\overline{ABC}$ ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge s.
Unter $k_A$ ; $k_B$ und $k_C$ wollen wir die Kreise mit den Mittelpunkten $A;B$ und $C$ und dem Radius $s$ verstehen.
Das Reuleaux Dreiecks mit den Eckpunkten $A;B;C$ ist die Vereinigungsmenge der drei Kreisbögen $c$ ; $b$ und $a$ , wobei $c$ der kürzere Bögen des Kreises $k_C$ zwischen den Punkten $A$ und $B$ ist.
Analog sind die Bögen $b$ und $a$ auf den Kreisen $k_B$ bzw. $k_A$ zu verstehen.

Die Dom-Brauerei möchte eine neue Kölschsorte kreieren. Die beauftagte Werbefirma macht den Vorschlag, das neue Bier Triangle-Kölsch zu nennen und das äußere Design des neuen Biers mit dem KölnTriangle zu verbinden.

a)Die Werbefachleute stellen sich vor, dass der auf Abbildung 1 (Wikipedia) sichtbare Teil des KölnTriangles eine Dose in Form eines Reuleaux-Dreieck-Zylinders ist.
Welche Menge Triangle-Kölsch würden in diese Dose passen? Die Länge bs der Kreisbögen des Releaux Dreiecks und die Höhe h dieser Dose könnte man abschätzen. Entwickeln Sie eine Formel zur Berechnung des Volumens eines Reuleaux-Dreiecks-Zylinders, in die nur bs und h als zu messende bzw. abzuschätzende Größen eingehen.
Schätzen Sie bs und h auf der Grundlage von Abbildung 1 und berechnen Sie das Volumen des entsprechenden Reuleaux-Dreiecks-Zylinders in Hektolitern.

b) Kölsch wird üblicherweise in Mengen von 0,2 Litern verabreicht. Das neue Bier soll in Dosen verkauft werden, die dem Reuleaux-Dreieck-Zylinder aus Aufgabe a) (mathematisch) ähnlich sind. Gehen Sie davon aus, dass das von Ihnen berechnete Volumen in Hektolitern aus Aufgabe a) korrekt ist und berechnen Sie auf dieser Grundlage die Maße der entsprechenden 0,2 Liter Dose.

Verständnisfrage: Die Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks und die Höhe des gleichseitigen Dreiecks können aber aus den zu messenden bzw. abzuschätzenden Angaben errechnet werden und zur Volumenberechnung genutzt werden oder? --Libertad 18:50, 3. Jan. 2012 (CET)

Kann jemand mal seine Idee hier einstellen, ich komm mit der Volumenberechnung einfach nicht weiter. Danke!--Löwenzahn 18:06, 21. Jan. 2012 (CET)

Hallo Löwenzahn! Hier meine Lösung - wäre super, wenn du die Lösungsidee kommentierten könntest, da ich sie bisher noch nicht mit anderen Lösungswegen verglichen habe.

a)
h: Höhe des Turms: ~70m (Stützpunktvorstellung: 20 Stockwerke á je 3,5m)
b: Länge Kreisbogen: ~38m (Stützpunktvorstellung: 25 Fenster pro Kriesbogen á je 1,5m)

mathematisches Modell:
V= (3*pi*s²*60/360*h)-(2*s²/4*Wurzel3*h)
Fehlende Größe: Seitenlänge s bzw. Radius s:
b=2*pi*s*alpha/360 --> 38=2*pi*s*60/360 --> s=33,41 [m]
V=(3*pi*33,41²*60/360*70)-(2*33,41²/4* wurzel 3 *70) = 55067,96 m³ was 5.506.796 hl entspricht

b)
Idee: Höhe des Zylinders in Abhängigkeit von s angeben:
h=70m=700dm
s=33,41m=334,1dm
h=700/334,1 * s
in Formel einsetzen (V=0,2 dm³): 0,2 = (3*pi*s²*60/360*700/334,1*s)-(2*s²/4* Wurzel 3*7000/3341*s)
--> s=0,513 [dm]
--> h=1,075dm=10,7cm , s=5,13cm , b=5,37cm

--Libertad 19:08, 22. Jan. 2012 (CET)

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-Die oberen 20 Stockwerke und die Aussichtsplattform
+Die oberen 20 Stockwerke und die Aussichtsplattform des KölnTriangles  haben als Grundriss ein Reuleaux Dreieck:
-des KölnTriangles  haben als Grundriss ein Reuleaux Dreieck:
+Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge s. <br />
-Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge s. Unter <math>k_A</math>; <math>k_B</math> und <math>k_C</math> wollen wir die Kreise mit den Mittelpunkten <math>A;B</math> und<math> C</math> und dem Radius <math>s</math> verstehen. Das Reuleaux Dreiecks mit den Eckpunkten <math>A;B;C</math> ist die Vereinigungsmenge der drei Kreisbogen <math>c</math>; <math>b</math> und <math>a</math>, wobei <math>c</math> der kürzere Bögen des Kreises <math>k_C</math> zwischen den Punkten <math>A</math> und <math>B</math> ist. Analog sind die Bögen <math>b</math> und <math>a</math> auf den Kreisen <math>k_B</math> bzw. <math>k_A</math> zu verstehen.
+Unter <math>k_A</math>; <math>k_B</math> und <math>k_C</math> wollen wir die Kreise mit den Mittelpunkten <math>A;B</math> und<math> C</math> und dem Radius <math>s</math> verstehen. <br />
+Das Reuleaux Dreiecks mit den Eckpunkten <math>A;B;C</math> ist die Vereinigungsmenge der drei Kreisbögen <math>c</math>; <math>b</math> und <math>a</math>, wobei <math>c</math> der kürzere Bögen des Kreises <math>k_C</math> zwischen den Punkten <math>A</math> und <math>B</math> ist. <br />
+Analog sind die Bögen <math>b</math> und <math>a</math> auf den Kreisen <math>k_B</math> bzw. <math>k_A</math> zu verstehen.
-Die Dom-Brauerei mochte eine neue Kölschsorte kreieren. Die beauftagte Werbefirma macht den Vorschlag, das neue Bier Triangle-Kölsch zu nennen und das äußere Design des neuen Biers mit dem KölnTriangle zu verbinden.
+Die Dom-Brauerei möchte eine neue Kölschsorte kreieren. Die beauftagte Werbefirma macht den Vorschlag, das neue Bier Triangle-Kölsch zu nennen und das äußere Design des neuen Biers mit dem KölnTriangle zu verbinden.
-a)Die Werbefachleute stellen sich vor, dass der auf Abbildung 1 (Wikipedia) sichtbare Teil
+a)Die Werbefachleute stellen sich vor, dass der auf Abbildung 1 (Wikipedia) sichtbare Teil des KölnTriangles eine Dose in Form eines Reuleaux-Dreieck-Zylinders ist.<br />
-des KolnTriangles eine Dose in Form eines Reuleaux-Dreieck-Zylinders ist.
+Welche Menge Triangle-Kölsch würden in diese Dose passen? Die Länge bs der Kreisbögen des Releaux Dreiecks und die Höhe h dieser Dose könnte man
-Welche Menge Triangle-Kolsch wurden in diese Dose passen? Die Lange bs
+abschätzen. Entwickeln Sie eine Formel zur Berechnung des Volumens eines Reuleaux-Dreiecks-Zylinders, in die nur bs und h als zu messende bzw. abzuschätzende Größen eingehen.<br />
-der Kreisbogen des Releaux Dreiecks und die Hohe h dieser Dose konnte man
+Schätzen Sie bs und h auf der Grundlage von Abbildung 1 und berechnen Sie das Volumen des entsprechenden Reuleaux-Dreiecks-Zylinders in Hektolitern.
-abschatzen. Entwickeln Sie eine Formel zur Berechnung des Volumens eines
-Reuleaux-Dreiecks-Zylinders, in die nur bs und h als zu messende bzw. abzusch
-atzende Gro�en eingehen.
-Schatzen Sie bs und h auf der Grundlage von Abbildung 1 und berechnen Sie
-das Volumen des entsprechenden Reuleaux-Dreiecks-Zylinders in Hektolitern.
-b) Kolsch wird ublicherweise in Mengen von 0,2 Litern verabreicht. Das neue Bier
+b) Kölsch wird üblicherweise in Mengen von 0,2 Litern verabreicht. Das neue Bier soll in Dosen verkauft werden, die dem Reuleaux-Dreieck-Zylinder aus Aufgabe a) (mathematisch) ähnlich sind. Gehen Sie davon aus, dass das von Ihnen berechnete Volumen in Hektolitern aus Aufgabe a) korrekt ist und berechnen Sie auf dieser Grundlage die Maße der entsprechenden 0,2 Liter Dose.<br /><br />
-soll in Dosen verkauft werden, die dem Reuleaux-Dreieck-Zylinder aus Aufgabe
-a) (mathematisch) ahnlich sind. Gehen Sie davon aus, dass das von Ihnen
-berechnete Volumen in Hektolitern aus Aufgabe a) korrekt ist und berechnen
-Sie auf dieser Grundlage die Ma�e der entsprechenden 0,2 Liter Dose.<br /><br />
 Verständnisfrage: Die Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks und die Höhe des gleichseitigen Dreiecks können aber aus den zu messenden bzw. abzuschätzenden Angaben errechnet werden und zur Volumenberechnung genutzt werden oder?

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