Lösung von Aufgabe 3.4 S (SoSe 12): Unterschied zwischen den Versionen
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Beh.: |α| ≠ |β| | Beh.: |α| ≠ |β| | ||
Annahme: |AC|< |BC| < |AB| und |α| = |β| | Annahme: |AC|< |BC| < |AB| und |α| = |β| | ||
− | Beweis: (1) Wenn |α| = |β|, dann ist |AC|= |BC| [vgl. Umkehrung des Basiswinkelsatzes] | + | Beweis: (1) Wenn |α| = |β|, dann ist |AC|= |BC| [vgl. Umkehrung des Basiswinkelsatzes](2) |AC|= |BC| ist ein Widerspruch zur Voraussetzung! q.e.d |
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Version vom 3. Mai 2012, 11:16 Uhr
Aufgabe 3.4
Satz: In einem Dreieck mit |AC|< |BC| < |AB| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander.
a) Welcher Beweis ist korrekt? Begründen Sie ausführlich! (Der Basiswinkelsatz und seine Umkehrung seien bereits bewiesen.)
Beweis 1)
Sei ein Dreieck.
Vor: |AC|< |BC| < |AB|.
Beh: |α| ≠ |β|
Bew: Da nach Voraussetzung |AC| ≠ |BC| gilt nach dem Basiswinkelsatz |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.
Beweis 2)
Sei ein Dreieck.
Vor: |AC|< |BC| < |AB|.
Beh: |α| ≠ |β|
Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn |α|= |β| dann gilt |AC|= |BC|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn |AC| ≠ |BC| dann gilt |α| ≠ |β|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: |AC|< |BC|, d.h. |AC| ≠ |BC|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.
b) Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.
Beweis durch Widerspruch, d.h. A und nicht B (Hilfe bei Formelschreibweise!)
Vor.: |AC|< |BC| < |AB|
Beh.: |α| ≠ |β|
Annahme: |AC|< |BC| < |AB| und |α| = |β|
Beweis: (1) Wenn |α| = |β|, dann ist |AC|= |BC| [vgl. Umkehrung des Basiswinkelsatzes](2) |AC|= |BC| ist ein Widerspruch zur Voraussetzung! q.e.d