Alle Axiome im Überblick SoSe12: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 31. Mai 2012, 15:48 Uhr

Axiome

Inzidenzaxiome

Axiom I.0:

Geraden und Ebenen sind Punktmengen.

Axiom I.1: (Axiom von der Geraden)

Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.

Axiom I.2:

Zu jeder Geraden gibt es (wenigstens) zwei verschiedene Punkte, die dieser Geraden angehören.

Axiom I.3:

Es gibt wenigstens 3 paarweise verschiedene Punkte, die nicht kollinear sind.

Axiom I.4:

Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.

Axiom I.5:

Wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E.

Axiom I.6:

Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.

Axiom I.7:

Es gibt vier paarweise verschiedene Punkte, die nicht komplanar sind.

Abstandsaxiome

Axiom II.1: (Abstandsaxiom)

Zu je zwei Punkten $\ A$ und $\ B$ gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl $\ d$ mit $d=0: \Leftrightarrow A=B$ .

Axiom II.2:

Für zwei beliebige Punkte $\ A$ und $\ B$ gilt $\left| AB \right| = \left| BA \right|$ .

Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)

Falls $\operatorname{koll} \left( ABC \right)$ , dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind $\ A$ , $\ B$ und $\ C$ kollinear.

Axiom III.1: (Axiom vom Lineal)

Zu jeder nicht negativen reelen Zahl $\ d$ gibt es auf jedem Strahl $\ p$ genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von $\ p$ den Abstand $\ d$ hat.

Axiom III.2: (Das Axiom von Pasch)

Gegeben sei ein Dreieck $\overline{ABC}$ . Ferner sei $\ g$ eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte $\ A, B, C$ geht. Wenn $\ g$ eine der drei Seiten des Dreiecks $\overline{ABC}$ schneidet, dann schneidet $\ g$ genau eine weitere Seite des Dreiecks $\overline{ABC}$ .

Axiom IV.1: (Winkelmaßaxiom)

Zu jedem Winkel $\ \alpha$ gibt es genau eine reelle Zahl $\ \omega$ zwischen 0 und 180.

Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom)

Es sei $\ g \equiv SA$ eine Gerade in der Ebene $\ E$ . Zu jeder reellen Zahl $\ \omega$ mit $\ 0 < \omega < 180$ gibt es in jeder der beiden durch $\ g$ bestimmten Halbebenen der Ebene $\ E$ genau einen Strahl $\ SB^+$ mit $\ \left| \omega \right| = \left| \angle ASB \right|$

Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)

Axiom IV.4: (Supplementaxiom)

Nebenwinkel sind supplementär.

Axiom V: (Kongruenzaxiom SWS)

Wenn für zwei Dreiecke $\overline{ABC}$ und $\overline{DEF}$ die folgenden 3 Kongruenzen

$\overline{AB} \tilde= \overline{DE}$
$\overline{AC} \tilde= \overline{DF}$
$\angle CAB \tilde= \angle FDE$

gelten,

dann sind die beiden Dreiecke $\overline{ABC}$ und $\overline{DEF}$ kongruent zueinander.

Euklidisches Parallelenaxiom

Zu jedem Punkt $\ P$ außerhalb einer Geraden $\ g$ gibt es höchstens eine Gerade $\ h$ , die durch $\ P$ geht und zu $\ g$ parallel ist.

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 :Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.
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-===== Axiom III.1: (Axiom vom Lineal) =====
+=== Axiom III.1: (Axiom vom Lineal) ===
 :Zu jeder nicht negativen reelen Zahl <math>\ d</math> gibt es auf jedem Strahl <math>\ p</math> genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von <math>\ p</math> den Abstand <math>\ d</math> hat.
-===== Axiom III.2: (Das Axiom von Pasch) =====
+=== Axiom III.2: (Das Axiom von Pasch) ===
 :Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. Ferner sei <math>\ g</math> eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte <math>\ A, B, C</math> geht. Wenn <math>\ g</math> eine der drei Seiten des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> schneidet, dann schneidet <math>\ g</math> genau eine weitere Seite des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.
-==== Axiom IV.1: (Winkelmaßaxiom) ====
+=== Axiom IV.1: (Winkelmaßaxiom) ===
 ::Zu jedem Winkel <math>\ \alpha</math> gibt es genau eine reelle Zahl <math>\ \omega</math> zwischen 0 und 180.
-==== Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom) ====
+=== Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom) ===
 :: Es sei <math>\ g \equiv SA</math> eine Gerade in der Ebene <math>\ E </math>. Zu jeder reellen Zahl  <math>\ \omega</math> mit <math>\ 0 < \omega < 180</math> gibt es in jeder der beiden durch <math>\ g</math> bestimmten Halbebenen der Ebene <math>\ E </math> genau einen Strahl <math>\ SB^+</math> mit <math>\ \left| \omega \right| = \left| \angle ASB \right|</math>
-==== Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)====
+=== Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)===
 ::Wenn der Punkt <math>\ P</math> zum Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> gehört , dann gilt <math>\ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.
-==== Axiom IV.4: (Supplementaxiom) ====
+=== Axiom IV.4: (Supplementaxiom) ===
 ::Nebenwinkel sind supplementär.
-==== Axiom V: (Kongruenzaxiom SWS) ====
+=== Axiom V: (Kongruenzaxiom SWS) ===
 ::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 3 Kongruenzen
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 ::dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.
-==== Euklidisches Parallelenaxiom ====
+=== Euklidisches Parallelenaxiom ===
 ::Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es höchstens eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und zu <math>\ g</math> parallel ist.