Halbebenen und das Axiom von Pasch SS 2012: Unterschied zwischen den Versionen
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===== Definition IV.1: (offene Halbebene)===== | ===== Definition IV.1: (offene Halbebene)===== | ||
− | :::Es sei <math>\ E</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ E</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört.<br /> Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene <math>\ E</math> ohne die Gerade <math>\ g</math> : | + | :::Es sei <math>\ E</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ E</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört.<br /> Unter den <u>offenen</u> Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene <math>\ E</math> <u>ohne</u> die Gerade <math>\ g</math> : |
− | ::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| | + | ::::<math>\ gQ^{+}:= \{P|g\cap\overline{PQ}=\emptyset\}</math> |
+ | ::: ("Jene Punkte P, für die gilt, dass der Trenner<math>\ g</math> die Strecke <math> \overline{PQ}</math> nicht schneidet, bilden die offene Halbebene<math>\ gQ^{+}</math>.") | ||
− | ::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| | + | ::::<math>\ gQ^{-}:= \{P|g\cap\overline{PQ}\neq\emptyset\}</math> |
+ | ::: ("Jene Punkte P, für die gilt, dass der Trenner<math>\ g</math> die Strecke <math> \overline{PQ}</math> schneidet, bilden die offene Halbebene<math>\ gQ^{-}</math>.") | ||
+ | --[[Benutzer:Snooth|Snooth]] 23:33, 5. Jun. 2012 (CEST) | ||
==== Halbebenen ==== | ==== Halbebenen ==== |
Version vom 5. Juni 2012, 23:33 Uhr
Halbebenen und das Axiom von PaschHalbebenenAnalogiebetrachtungen
Die folgenden Lückentexte können Sie auch als Übungsblatt im pdf-Format herunterladen: Übungsblatt Halbgeraden/-ebenen Wir konstatieren:
Geradenteilung:
Ebenenteilung:
Definition des Begriffs der HalbebeneAlles hat zwei Seiten oder grundlegende Ideen der Beschaffenheit von EbenenOffene HalbebenenDie beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene , die nicht auf einer Geraden dieser Ebene liegen, durch diese Gerade eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von bezüglich der Trägergeraden . Der nicht zu gehörende Referenzpunkt bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich mit auf derselben Seite liegen, wird mit bezeichnet, die andere offene Halbebene von bezüglich und mit . Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte und einer Ebene auf ein und derselben bzw. auf zwei verschiedenen Seiten dieser Ebene bezüglich einer Geraden liegen. Definition IV.1: (offene Halbebene)
--Snooth 23:33, 5. Jun. 2012 (CEST) HalbebenenVereinigt man die Menge der Punkte einer offenen Halbeben mit der Menge der Punkte der Trägergerade so erhält man eine Halbebene. Definition IV.2: (Halbebene)
Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: , (geschlossene) Halbebene: . Der weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass bzw. immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen. Definition IV.3: HalbraumGegeben sei eine Ebene E und ein Raum R, der E enthält. Die Punkte des Raumes, die nicht in E liegen, bilden zwei Mengen derart, dass gilt:
Das Axiom von Pasch
Axiom III.2: Das Axiom von Pasch
Konvexe PunktmengenDefinition IV.4: (konvexe Punktmenge)
Satz IV.2
Beweis von Satz IV.2trivial (Der Leser überzeuge sich davon) Satz IV.3
Beweis von Satz IV.3Es seien und zwei konvexe Mengen. zu zeigen: Der Durchschnitt der beiden Mengen und ist auch konvex. Wie geht es weiter?
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