Lösung von Aufgabe 6.9: Unterschied zwischen den Versionen

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Ich glaube, es ist noch zu zeigen, dass genau einer zwischen den beiden anderen liegt. Habe deinen Beweis ab Schritt IV weitergeführt:
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| Def (Zwischenrelation)
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| zu zeigen: es liegt genau einer zwischen den beiden anderen
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<br /> Annahme: es gilt <math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> und <math>\operatorname{zw}\left \{A, C, B  \right \}</math>
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| <math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
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| (Axiom II/3)
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| <math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
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<br /><math>\left| AB \right| - \left| CB \right| = \left| AC \right| </math>
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| rechnen mit reellen Zahlen, (Axiom II/2)
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| <math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AB \right|- \left| BC \right| </math>
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| (VII gleichgesetzt), rechnen mit reellen Zahlen
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! style="background: #FFDDDD;"|(IX)
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| <math>\left| AB \right| + 2 \left| BC \right| = \left| AB \right| </math>
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| (VIII), + <math>\left| BC \right|</math>
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| <math>\ 2 \left| BC \right| = 0 </math>
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| (IX), - <math>\left| AB \right|</math>
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| Widerspruch, da das zweifache eines Abstands nicht null ergeben kann.
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<br />--> Annahme zu verwerfen, Behauptung wahr.
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--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:58, 4. Jun. 2010 (UTC)

Version vom 4. Juni 2010, 18:58 Uhr

Vorlage

Satz:

Von drei paarweise verschiedenen Punkten \ A, B und \ C ein und derselben Geraden \ g liegt genau einer zwischen den beiden anderen.

Beweisen Sie diesen Satz.
Satz in wenn-dann:

Wenn drei Punkte \ A, B und \ C ..., dann ... .

Beweis

Es seien also \ A, B und \ C drei Punkte.
Voraussetzungen:


...

Behauptung

\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \} oder \operatorname{zw}\left \{ , , \right \} oder \operatorname{zw}\left \{ , , \right \}
Beweis
Nr. Beweisschritt Begründung
(I) \operatorname{koll} \left \{ A, B, C \right \} Voraussetzung
(II) Element Element
(III) Element Element
(IV) Element Element
(V) Element Element


Versuch I

Satz:

Von drei paarweise verschiedenen Punkten \ A, B und \ C ein und derselben Geraden \ g liegt genau einer zwischen den beiden anderen.

Beweisen Sie diesen Satz.
Satz in wenn-dann:

Wenn drei Punkte \ A, B und \ C kollinear sind, dann liegt genau einer zwischen den beiden anderen Punkten (und umgekehrt???) .

Beweis

Es seien also \ A, B und \ C drei Punkte.
Voraussetzungen: koll(\ A, B und \ C)


Behauptung

\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \} oder \operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \} oder \operatorname{zw}\left \{B, A, C \right \}
Beweis
Nr. Beweisschritt Begründung
(I) \operatorname{koll} \left \{ A, B, C \right \} Voraussetzung
(II) Für drei beliebige Punkte \ A, B und \ C gilt: \left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|. Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)
(III) \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|


\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right|
\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right|

Axiom II/3.1


Axiom II/3.2
Axiom II/3.3

(IV)
(V)

...und jetzt? --Heinzvaneugen

Ich glaube, es ist noch zu zeigen, dass genau einer zwischen den beiden anderen liegt. Habe deinen Beweis ab Schritt IV weitergeführt:

Beweis
Nr. Beweisschritt Begründung
(IV) \operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \} oder \operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \} oder \operatorname{zw}\left \{B, A, C \right \} Def (Zwischenrelation)
(V) zu zeigen: es liegt genau einer zwischen den beiden anderen


Annahme: es gilt \operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \} und \operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \}

(VI) \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|


\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right|

(Axiom II/3)
(VII) \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|


\left| AB \right| - \left| CB \right| = \left| AC \right|

rechnen mit reellen Zahlen, (Axiom II/2)
(VIII) \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AB \right|- \left| BC \right| (VII gleichgesetzt), rechnen mit reellen Zahlen
(IX) \left| AB \right| + 2 \left| BC \right| = \left| AB \right| (VIII), + \left| BC \right|
(X) \ 2 \left| BC \right| = 0 (IX), - \left| AB \right|
(XI) Widerspruch, da das zweifache eines Abstands nicht null ergeben kann.


--> Annahme zu verwerfen, Behauptung wahr.

--Löwenzahn 17:58, 4. Jun. 2010 (UTC)

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