Lösung von Aufgabe 6.9: Unterschied zwischen den Versionen

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Beweisen Sie diesen Satz.<br />
 
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== Lösung --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 13:50, 16. Jun. 2010 (UTC) ==
 
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::Wenn drei Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> kollinear sind, dann liegt genau einer zwischen den beiden anderen Punkten.
  
 
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Es seien also <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> drei Punkte.<br />
 
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<u>'''Voraussetzungen:'''</u>
 
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::<math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{ , ,   \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{ , , \right \}</math>
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::es gilt genau eine der drei möglichen Zwischenrelationen: <math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{A, C, B  \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{B, A, C \right \}</math>
  
 
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| (IV), (Axiom II/3)
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| rechnen mit reellen Zahlen, (Axiom II/2)
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| (VI gleichgesetzt), rechnen mit reellen Zahlen
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| <math>\left| AB \right| + 2 \left| BC \right| = \left| AB \right| </math>
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| Widerspruch, da die beiden Punkte B und C identisch sein müssten, nach Voraussetzung aber drei verschiedene Punkte A, B und C gegeben sind.
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<br />--> Annahme zu verwerfen, Behauptung stimmt.
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== vorausgegangene Diskussion ==
 
====Versuch I====
 
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<u>'''Satz:'''</u>
 
<u>'''Satz:'''</u>

Version vom 16. Juni 2010, 14:50 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Vorlage

Satz:

Von drei paarweise verschiedenen Punkten \ A, B und \ C ein und derselben Geraden \ g liegt genau einer zwischen den beiden anderen.

Beweisen Sie diesen Satz.

Lösung --Schnirch 13:50, 16. Jun. 2010 (UTC)

Satz in wenn-dann:

Wenn drei Punkte \ A, B und \ C kollinear sind, dann liegt genau einer zwischen den beiden anderen Punkten.

Beweis

Es seien also \ A, B und \ C drei Punkte.
Voraussetzungen: koll(\ A, B und \ C)


Behauptung

es gilt genau eine der drei möglichen Zwischenrelationen: \operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \} oder \operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \} oder \operatorname{zw}\left \{B, A, C \right \}
Beweis
Nr. Beweisschritt Begründung
(I) \operatorname{koll} \left \{ A, B, C \right \} Voraussetzung
(II) es gilt eine der drei Gleichungen:


\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|
\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right|
\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right|

(I), Axiom II/3
(III) \operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \} oder \operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \} oder \operatorname{zw}\left \{B, A, C \right \} (II), Def (Zwischenrelation)
(IV) zu zeigen: es liegt genau einer zwischen den beiden anderen


Annahme: es gilt o.B.d.A. \operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \} und \operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \}

(V) \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|


\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right|

(IV), (Axiom II/3)
(VI) \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|


\left| AB \right| - \left| CB \right| = \left| AC \right|

rechnen mit reellen Zahlen, (Axiom II/2)
(VII) \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AB \right|- \left| BC \right| (VI gleichgesetzt), rechnen mit reellen Zahlen
(VIII) \left| AB \right| + 2 \left| BC \right| = \left| AB \right| (VII), + \left| BC \right|
(IX) \ 2 \left| BC \right| = 0 (VIII), - \left| AB \right|
(X) Widerspruch, da die beiden Punkte B und C identisch sein müssten, nach Voraussetzung aber drei verschiedene Punkte A, B und C gegeben sind.


--> Annahme zu verwerfen, Behauptung stimmt.


vorausgegangene Diskussion

Versuch I

Satz:

Von drei paarweise verschiedenen Punkten \ A, B und \ C ein und derselben Geraden \ g liegt genau einer zwischen den beiden anderen.

Beweisen Sie diesen Satz.
Satz in wenn-dann:

Wenn drei Punkte \ A, B und \ C kollinear sind, dann liegt genau einer zwischen den beiden anderen Punkten (und umgekehrt???) .

Beweis

Es seien also \ A, B und \ C drei Punkte.
Voraussetzungen: koll(\ A, B und \ C)


Behauptung

\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \} oder \operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \} oder \operatorname{zw}\left \{B, A, C \right \}
Beweis
Nr. Beweisschritt Begründung
(I) \operatorname{koll} \left \{ A, B, C \right \} Voraussetzung
(II) Für drei beliebige Punkte \ A, B und \ C gilt: \left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|. Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)
(III) \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|


\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right|
\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right|

Axiom II/3.1


Axiom II/3.2
Axiom II/3.3

(IV)
(V)

...und jetzt? --Heinzvaneugen

Ich glaube, es ist noch zu zeigen, dass genau einer zwischen den beiden anderen liegt. Habe deinen Beweis ab Schritt IV weitergeführt:

Beweis
Nr. Beweisschritt Begründung
(IV) \operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \} oder \operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \} oder \operatorname{zw}\left \{B, A, C \right \} Def (Zwischenrelation)
(V) zu zeigen: es liegt genau einer zwischen den beiden anderen


Annahme: es gilt \operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \} und \operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \}

(VI) \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|


\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right|

(Axiom II/3)
(VII) \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|


\left| AB \right| - \left| CB \right| = \left| AC \right|

rechnen mit reellen Zahlen, (Axiom II/2)
(VIII) \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AB \right|- \left| BC \right| (VII gleichgesetzt), rechnen mit reellen Zahlen
(IX) \left| AB \right| + 2 \left| BC \right| = \left| AB \right| (VIII), + \left| BC \right|
(X) \ 2 \left| BC \right| = 0 (IX), - \left| AB \right|
(XI) Widerspruch, da das zweifache eines Abstands nicht null ergeben kann.


--> Annahme zu verwerfen, Behauptung wahr.

--Löwenzahn 17:58, 4. Jun. 2010 (UTC)


= Versuch II ====

Satz in wenn-dann:

Wenn drei Punkte \ A, B und \ C ein und derselben Gerade g paarweise verschieden sind, dann liegt genau einer zwischen den beiden anderen.

Beweis

Es seien also \ A, B und \ C drei Punkte.
Voraussetzungen:

\ A, B und \ C sind Punkte ein und derselben Geraden und paarweise verschieden.

Behauptung

\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \} oder \operatorname{zw}\left \{ A, C, B \right \} oder \operatorname{zw}\left \{ B, A, C \right \}
Beweis
Nr. Beweisschritt Begründung
(I) \operatorname{koll} \left \{ A, B, C \right \} Voraussetzung
(II) \ A, B und \ C paarweise verschieden Voraussetzung
(III) (1.) \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|
(2.) \left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right|
(3.) \left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| 		I., Axiom II/3
(IV) (1.)\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}
(2.) \operatorname{zw}\left \{ A, C, B \right \}
(3.) \operatorname{zw}\left \{ B, A, C \right \} 		III./(1.), III./(2.), III./(3.), Definition (Zwischenrelation)
(V) Behauptung ist wahr

--Maude001 12:39, 5. Jun. 2010 (UTC)

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