Lösung von Aufgabe 6.9: Unterschied zwischen den Versionen
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::Von drei paarweise verschiedenen Punkten <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> ein und derselben Geraden <math>\ g</math> liegt genau einer zwischen den beiden anderen. | ::Von drei paarweise verschiedenen Punkten <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> ein und derselben Geraden <math>\ g</math> liegt genau einer zwischen den beiden anderen. | ||
Beweisen Sie diesen Satz.<br /> | Beweisen Sie diesen Satz.<br /> | ||
+ | == Lösung --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 13:50, 16. Jun. 2010 (UTC) == | ||
<u>'''Satz in ''wenn-dann'':'''</u><br /> | <u>'''Satz in ''wenn-dann'':'''</u><br /> | ||
− | ::Wenn drei Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> | + | ::Wenn drei Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> kollinear sind, dann liegt genau einer zwischen den beiden anderen Punkten. |
<u>'''Beweis'''</u><br /> | <u>'''Beweis'''</u><br /> | ||
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Es seien also <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> drei Punkte.<br /> | Es seien also <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> drei Punkte.<br /> | ||
<u>'''Voraussetzungen:'''</u> | <u>'''Voraussetzungen:'''</u> | ||
+ | koll(<math>\ A, B</math> und <math>\ C</math>) | ||
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<u>'''Behauptung'''</u><br /> | <u>'''Behauptung'''</u><br /> | ||
− | ::<math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{ , | + | ::es gilt genau eine der drei möglichen Zwischenrelationen: <math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{B, A, C \right \}</math> |
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− | | | + | | es gilt eine der drei Gleichungen: |
− | | | + | <br /><math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> |
+ | <br /><math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math> | ||
+ | <br /><math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> | ||
+ | | (I), Axiom II/3 | ||
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− | | | + | | <math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{B, A, C \right \}</math> |
− | | | + | | (II), Def (Zwischenrelation) |
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− | | | + | | zu zeigen: es liegt genau einer zwischen den beiden anderen |
− | + | <br /> Annahme: es gilt o.B.d.A. <math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> und <math>\operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \}</math> | |
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− | | | + | | <math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> |
− | | | + | <br /><math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math> |
+ | | (IV), (Axiom II/3) | ||
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+ | ! style="background: #FFDDDD;"|(VI) | ||
+ | | <math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> | ||
+ | <br /><math>\left| AB \right| - \left| CB \right| = \left| AC \right| </math> | ||
+ | | rechnen mit reellen Zahlen, (Axiom II/2) | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #FFDDDD;"|(VII) | ||
+ | | <math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AB \right|- \left| BC \right| </math> | ||
+ | | (VI gleichgesetzt), rechnen mit reellen Zahlen | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #FFDDDD;"|(VIII) | ||
+ | | <math>\left| AB \right| + 2 \left| BC \right| = \left| AB \right| </math> | ||
+ | | (VII), + <math>\left| BC \right|</math> | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #FFDDDD;"|(IX) | ||
+ | | <math>\ 2 \left| BC \right| = 0 </math> | ||
+ | | (VIII), - <math>\left| AB \right|</math> | ||
+ | |- | ||
+ | ! style="background: #FFDDDD;"|(X) | ||
+ | | Widerspruch, da die beiden Punkte B und C identisch sein müssten, nach Voraussetzung aber drei verschiedene Punkte A, B und C gegeben sind. | ||
+ | <br />--> Annahme zu verwerfen, Behauptung stimmt. | ||
+ | | | ||
|} | |} | ||
+ | == vorausgegangene Diskussion == | ||
====Versuch I==== | ====Versuch I==== | ||
<u>'''Satz:'''</u> | <u>'''Satz:'''</u> |
Version vom 16. Juni 2010, 14:50 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Vorlage
Satz:
- Von drei paarweise verschiedenen Punkten und ein und derselben Geraden liegt genau einer zwischen den beiden anderen.
Beweisen Sie diesen Satz.
Lösung --Schnirch 13:50, 16. Jun. 2010 (UTC)
Satz in wenn-dann:
- Wenn drei Punkte und kollinear sind, dann liegt genau einer zwischen den beiden anderen Punkten.
Beweis
Es seien also und drei Punkte.
Voraussetzungen:
koll( und )
Behauptung
- es gilt genau eine der drei möglichen Zwischenrelationen: oder oder
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | Voraussetzung | |
(II) | es gilt eine der drei Gleichungen:
|
(I), Axiom II/3 |
(III) | oder oder | (II), Def (Zwischenrelation) |
(IV) | zu zeigen: es liegt genau einer zwischen den beiden anderen
| |
(V) |
|
(IV), (Axiom II/3) |
(VI) |
|
rechnen mit reellen Zahlen, (Axiom II/2) |
(VII) | (VI gleichgesetzt), rechnen mit reellen Zahlen | |
(VIII) | (VII), + | |
(IX) | (VIII), - | |
(X) | Widerspruch, da die beiden Punkte B und C identisch sein müssten, nach Voraussetzung aber drei verschiedene Punkte A, B und C gegeben sind.
|
vorausgegangene Diskussion
Versuch I
Satz:
- Von drei paarweise verschiedenen Punkten und ein und derselben Geraden liegt genau einer zwischen den beiden anderen.
Beweisen Sie diesen Satz.
Satz in wenn-dann:
- Wenn drei Punkte und kollinear sind, dann liegt genau einer zwischen den beiden anderen Punkten (und umgekehrt???) .
Beweis
Es seien also und drei Punkte.
Voraussetzungen:
koll( und )
Behauptung
- oder oder
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | Voraussetzung | |
(II) | Für drei beliebige Punkte und gilt: | Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) |
(III) |
|
Axiom II/3.1
|
(IV) | ||
(V) |
...und jetzt? --Heinzvaneugen
Ich glaube, es ist noch zu zeigen, dass genau einer zwischen den beiden anderen liegt. Habe deinen Beweis ab Schritt IV weitergeführt:
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(IV) | oder oder | Def (Zwischenrelation) |
(V) | zu zeigen: es liegt genau einer zwischen den beiden anderen
| |
(VI) |
|
(Axiom II/3) |
(VII) |
|
rechnen mit reellen Zahlen, (Axiom II/2) |
(VIII) | (VII gleichgesetzt), rechnen mit reellen Zahlen | |
(IX) | (VIII), + | |
(X) | (IX), - | |
(XI) | Widerspruch, da das zweifache eines Abstands nicht null ergeben kann.
|
--Löwenzahn 17:58, 4. Jun. 2010 (UTC)
= Versuch II ====
Satz in wenn-dann:
- Wenn drei Punkte und ein und derselben Gerade g paarweise verschieden sind, dann liegt genau einer zwischen den beiden anderen.
Beweis
Es seien also und drei Punkte.
Voraussetzungen:
und sind Punkte ein und derselben Geraden und paarweise verschieden.
Behauptung
- oder oder
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | Voraussetzung | |
(II) | und paarweise verschieden | Voraussetzung |
(III) | (1.) (2.) (3.) |
I., Axiom II/3 |
(IV) | (1.) (2.) (3.) |
III./(1.), III./(2.), III./(3.), Definition (Zwischenrelation) |
(V) | Behauptung ist wahr |
--Maude001 12:39, 5. Jun. 2010 (UTC)