Vektorräume 2012 13: Unterschied zwischen den Versionen
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A3: Es gibt ein neutrales Element <math>e\in V</math>, mit dem für alle Elemente <math>u\in V</math> gilt: <math>u+ e = e+ u = u</math>. (Existenz eines neutralen Elements/Nullvektor) //<blockquote style="border: 1px solid blue; padding: 2em;"> | A3: Es gibt ein neutrales Element <math>e\in V</math>, mit dem für alle Elemente <math>u\in V</math> gilt: <math>u+ e = e+ u = u</math>. (Existenz eines neutralen Elements/Nullvektor) //<blockquote style="border: 1px solid blue; padding: 2em;"> | ||
− | Ist das nicht bezüglich der Addition: also: u+e=e+u=u? | + | Ist das nicht bezüglich der Addition: also: u+e=e+u=u? <br />Sie haben Recht, ich hab es geändert.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 11:32, 8. Dez. 2012 (CET) |
</blockquote>A4: Zu jeden <math>u\in V</math> existiert ein Gegenvektor <math>-u \in V</math> mit<math>u+(-u)=e. </math> | </blockquote>A4: Zu jeden <math>u\in V</math> existiert ein Gegenvektor <math>-u \in V</math> mit<math>u+(-u)=e. </math> | ||
Version vom 8. Dezember 2012, 12:32 Uhr
Definition des Begriff des Vektorraums
Eine nicht leere Menge V zusammen mit einer inneren Verknüpfung
,
und der äußeren Verknüpfung
,
heißt reeler Verktorraum, falls folgende Bedingungen erfüllt sind:
A1: Für beliebige gilt
(Kommuntativität der Addition).
A2: Für beliebige gilt
. (Assoziativität der Addition)
![e\in V](/images/math/0/3/3/03390734672d4e7905f403c32abae59c.png)
![u\in V](/images/math/d/a/4/da4760886b448bf1f9ecd7e0fd994bce.png)
![u+ e = e+ u = u](/images/math/7/5/4/7542a6bd57afe01dafced19c9d01723e.png)
Ist das nicht bezüglich der Addition: also: u+e=e+u=u?A4: Zu jeden
Sie haben Recht, ich hab es geändert.--*m.g.* 11:32, 8. Dez. 2012 (CET)
![u\in V](/images/math/d/a/4/da4760886b448bf1f9ecd7e0fd994bce.png)
![-u \in V](/images/math/b/7/1/b719a939ae2729dce84418e9266a213d.png)
![u+(-u)=e.](/images/math/d/c/b/dcb76341fe7998e4a1f0cbd9b7bda771.png)
S1: Für beliebige gilt
.
S2: Für beliebige und beliebige
gilt:
(Assoziativität der Multiplikation von Vektoren mit reelen Zahlen)
S3: Für beliebige und beliebige
gilt:
(1.Distributivgesetz)
S4: Für beliebige und beliebige
gilt:
(2.Distributivgesetz)
Bemerkung:
Die Eigenschaften A1-A4 lassen sich zusammenfassen, dass eine Abelsche Gruppe bildet.
Die Menge aller Pfeilklassen in der Ebene (und die Pfeilklassen des Raumes) mit den Eigenschaften, wie in der Vorlesung gezeigt, bilden einen Vektorraum.
(Quelle: Filler: Elementare Lineare Algebra. Spektrum Akademischer Verlag)