Vektorräume 2012 13: Unterschied zwischen den Versionen
*m.g.* (Diskussion | Beiträge) (→Definition des Begriff des Vektorraums) |
|||
Zeile 15: | Zeile 15: | ||
A2: Für beliebige <math>u,v.w \in V</math> gilt <math>(u+v)+w=u+(v+w)</math>. (Assoziativität der Addition) | A2: Für beliebige <math>u,v.w \in V</math> gilt <math>(u+v)+w=u+(v+w)</math>. (Assoziativität der Addition) | ||
− | A3: Es gibt ein neutrales Element <math>e\in V</math>, mit dem für alle Elemente <math>u\in V</math> gilt: <math>u+ e = e+ u = u</math>. (Existenz eines neutralen Elements/Nullvektor) | + | A3: Es gibt ein neutrales Element <math>e\in V</math>, mit dem für alle Elemente <math>u\in V</math> gilt: <math>u+ e = e+ u = u</math>. (Existenz eines neutralen Elements/Nullvektor) |
− | + | ||
− | + | A4: Zu jeden <math>u\in V</math> existiert ein Gegenvektor <math>-u \in V</math> mit<math>u+(-u)=e. </math> | |
S1: Für beliebige <math>v \in V</math> gilt <math>1\cdot u =u</math>. | S1: Für beliebige <math>v \in V</math> gilt <math>1\cdot u =u</math>. |
Version vom 10. Dezember 2012, 10:50 Uhr
Definition des Begriff des Vektorraums
Eine nicht leere Menge V zusammen mit einer inneren Verknüpfung
,
und der äußeren Verknüpfung
,
heißt reeler Verktorraum, falls folgende Bedingungen erfüllt sind:
A1: Für beliebige gilt
(Kommuntativität der Addition).
A2: Für beliebige gilt
. (Assoziativität der Addition)
A3: Es gibt ein neutrales Element , mit dem für alle Elemente
gilt:
. (Existenz eines neutralen Elements/Nullvektor)
A4: Zu jeden existiert ein Gegenvektor
mit
S1: Für beliebige gilt
.
S2: Für beliebige und beliebige
gilt:
(Assoziativität der Multiplikation von Vektoren mit reelen Zahlen)
S3: Für beliebige und beliebige
gilt:
(1.Distributivgesetz)
S4: Für beliebige und beliebige
gilt:
(2.Distributivgesetz)
Bemerkung:
Die Eigenschaften A1-A4 lassen sich zusammenfassen, dass eine Abelsche Gruppe bildet.
Die Menge aller Pfeilklassen in der Ebene (und die Pfeilklassen des Raumes) mit den Eigenschaften, wie in der Vorlesung gezeigt, bilden einen Vektorraum.
(Quelle: Filler: Elementare Lineare Algebra. Spektrum Akademischer Verlag)