Beispiele für endliche Gruppen

Restklassen modulo 4

mit
(Menge aller durch 4 teilbaren ganzen Zahlen),
(Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 1 lassen),
(Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 2 lassen),
(Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 3 lassen),

Wir definieren auf eine Verknüpfung wie folgt:

Die Struktur ist eine Gruppe:

1. Die Verknüpfung ist auf der Menge abgeschlossen, d.h. ,
2. Die Verknüpfung ist auf der Menge assoziativ, d.h. ,
3. hat ein neutrales Element, nämlich die Klasse , d.h. ,
   
4. Zu jedem Element aus gibt es ein inverses Element, d.h. .

Die folgende Verknüpfungstafel verdeutlicht die obigen Eigenschaften:

Die Tabelle wurde mit der Tabellenkalkulation von Geogebra generiert. Aus diesem Grunde fehlen die Querstriche über den Klassen.

Die Verknüpfungstabelle zeigt eine weitere Eigenschaft der Gruppe :
Die Ergebnisse in der Tabelle sind symmetrisch bezüglich der Hauptdiagonalen angeordnet. Letzteres bedeutet, dass die Verknüpfung auf kommutativ ist:

• .
  

Kommutative Gruppen werden auch Abelsche Gruppen genannt.

Gruppe der Deckabbildungen des Rechtecks

Unter wollen wir die Menge aller Bewegungen verstehen, die das Rechteck auf sich selbst abbilden. Es handelt sich dabei um die folgenden Drehungen (mit dem Drehzentrum ) und Geradenspiegelungen:


Hierbei gilt: und

Als Verknüpfung wählen wir die NAF von Abbildungen.

Es ergibt sich folgende Verknüpfungstafel:


...