Gruppen, abelsche Gruppen 2012 12: Unterschied zwischen den Versionen
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Die Ergebnisse in der Tabelle sind symmetrisch bezüglich der Hauptdiagonalen angeordnet. Letzteres bedeutet, dass die Verknüpfung <math>\oplus</math> auf <math>\mathbb{Z}_4</math> kommutativ ist:<br /> | Die Ergebnisse in der Tabelle sind symmetrisch bezüglich der Hauptdiagonalen angeordnet. Letzteres bedeutet, dass die Verknüpfung <math>\oplus</math> auf <math>\mathbb{Z}_4</math> kommutativ ist:<br /> | ||
*<math>\forall \overline{a}, \overline{b} \in \mathbb{Z}_4: \overline{a} \oplus \overline{b} = \overline{b} \oplus \overline{a}</math>.<br /> | *<math>\forall \overline{a}, \overline{b} \in \mathbb{Z}_4: \overline{a} \oplus \overline{b} = \overline{b} \oplus \overline{a}</math>.<br /> | ||
− | Kommutative Gruppen werden auch Abelsche Gruppen genannt. | + | Kommutative Gruppen werden auch Abelsche Gruppen genannt.<br /><br /> |
+ | ==Gruppe der Deckdrehungen des Quadrats== | ||
+ | Hierbei verstehen wir unter <math>D_D</math> die Menge aller Drehungen die das Quadrat <math>\overline{ABCD}</math> auf sich selbst abbilden:<br /> | ||
+ | <math>D_D:=\left\{D_{0}, D_{90}, D_{180}, D_{270}\right\}</math><br /><br /> | ||
+ | Die Verknüpfung sei die NAF.<br /><br /> | ||
+ | Daraus ergibt sich folgende Verknüpfungstafel:<br /> | ||
+ | [[Bild:Verknüpfungstafel_DR.3JPG.JPG| 200px]]<br /><br /> | ||
+ | Anmerkung: Die Gruppe der Deckdrehungen des Quadrats ist eine cyklische Gruppe.<br /><br /> | ||
==Gruppe der Deckabbildungen des Rechtecks== | ==Gruppe der Deckabbildungen des Rechtecks== | ||
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[[Bild:Decvkabbildungen_Rechteck.png| 300px]]<br /> | [[Bild:Decvkabbildungen_Rechteck.png| 300px]]<br /> | ||
Unter <math>D_R</math> wollen wir die Menge aller Bewegungen verstehen, die das Rechteck <math>\overline{ABCD}</math> auf sich selbst abbilden. Es handelt sich dabei um die folgenden Drehungen (mit dem Drehzentrum <math>Z</math>) und Geradenspiegelungen:<br /> | Unter <math>D_R</math> wollen wir die Menge aller Bewegungen verstehen, die das Rechteck <math>\overline{ABCD}</math> auf sich selbst abbilden. Es handelt sich dabei um die folgenden Drehungen (mit dem Drehzentrum <math>Z</math>) und Geradenspiegelungen:<br /> | ||
<math>D_R:=\left\{D_{0}, D_{180}, S_m, S_n\right\}</math><br /><br /> | <math>D_R:=\left\{D_{0}, D_{180}, S_m, S_n\right\}</math><br /><br /> | ||
Es ergibt sich folgende Verknüpfungstafel:<br /> | Es ergibt sich folgende Verknüpfungstafel:<br /> | ||
− | [[Bild:Verknüpfungstafel_DR.4.JPG]] | + | [[Bild:Verknüpfungstafel_DR.4.JPG| 200px]] |