Serie 05 12 13: Unterschied zwischen den Versionen

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<math>\vec{b_1}=\begin{pmatrix}2 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}</math>, <math>\vec{b_2}=\begin{pmatrix}2 \\ 2 \\ 0\end{pmatrix}</math>, <math>\vec{b_1}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 3\end{pmatrix}</math>
 
<math>\vec{b_1}=\begin{pmatrix}2 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}</math>, <math>\vec{b_2}=\begin{pmatrix}2 \\ 2 \\ 0\end{pmatrix}</math>, <math>\vec{b_1}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 3\end{pmatrix}</math>
  
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Beweisen Sie: Jedes <math>\vec{a}</math> aus <math>\matbb{R}^3</math> lässt sich als Linearkombination der Vektoren der Menge <math>M</math> darstellen.
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Beweisen Sie: Jedes <math>\vec{a}</math> aus <math>\mathbb{R}^3</math> lässt sich als Linearkombination der Vektoren der Menge <math>M</math> darstellen.

Version vom 15. Dezember 2012, 18:48 Uhr

Aufgabe 5.1

Es sei \varphi \in \mathbb{R}.
Wir definieren die folgende Abbildung f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2
\forall \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2: f \left( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix}cos(\varphi) & -sin(\varphi) \\ sin(\varphi) & cos(\varphi) \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} cos(\varphi)x + (-sin(\varphi))y \\ sin(\varphi)x + cos(\varphi) y \end{pmatrix}.
Beweisen Sie: f ist eine lineare Abbildung.
Interpretieren Sie f geometrisch.
Hilfe:

Aufgabe 5.2

Es sei Z=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ d \end{pmatrix},d \in \mathbb{R}, d > 0

Es sei \varepsilon die x-y-Ebene, die wir wiederum als \mathbb{R}^2 interpretieren. Wir bilden jedes Element des \mathbb{R}^3 mittels der Abbildung ZP_Zauf \varepsilon wie folgt ab:
\forall P=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in \mathbb{R} \setminus Z: ZP_Z(P)=ZP\cap \varepsilon.
Beweisen Sie: ZP_Z ist linear.

Aufgabe 5.3

Geben sei B eine Menge, die aus folgenden Vektoren des \mathbb{R}3 besteht:

\vec{b_1}=\begin{pmatrix}2 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}, \vec{b_2}=\begin{pmatrix}2 \\ 2 \\ 0\end{pmatrix}, \vec{b_1}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 3\end{pmatrix}

Beweisen Sie: Jedes \vec{a} aus \mathbb{R}^3 lässt sich als Linearkombination der Vektoren der Menge M darstellen.

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