Version vom 6. Januar 2013, 16:33 Uhr

Inhaltsverzeichnis

1 Allgemeines zum Bresenham Algorithmus
- 1.1 Motivation des Algorithmus
- 1.2 Effektivität des Algorithmus
2 Bresenham-Algortihmus für Graden
3 Bresenham-Algortihmus für Kreise
- 3.1 Tangente am Kreis

Allgemeines zum Bresenham Algorithmus

Motivation des Algorithmus

Der Bresenham-Algorihtmus, ist ein Verfahren um Graden bzw. Kreise möglichst "gut" auf Anzeigegeräten zu zeichnen. Hier heisst "gut", dass die Abweichung zwischen dem gezeichneten und dem gedachten Objekt möglichst gering ist.

Das Problem beim Darstellen einer Strecke auf einem Anzeigegerät ist, dass das erzeugte Bild nur durch endlich viele Punkte aufgebaut ist. Dadurch entstehen "Lücken" beim zeichnen. Da unser Auge nur eine endliche Auflösung verarbeiten kann, scheint uns ein Bild auf dem Monitor nicht durch einzelne Punkte aufgebaut zu sein, sondern es entstehen für uns geometrische Formen, die wir mit unserer Vorstellung von mathematischen Objekten in Einklang bringen können.

Eine Gerade wie wir sie auf dem Bildschirm wahrnehmen.

Hier sieht man dieselbe Gerade um das 8fache vergrößert.

Effektivität des Algorithmus

Dieser Algorithmus ist auch in heutiger Zeit, in seiner Geschwindigkeit und Einfachheit ungeschlagen, da die Rechenoperationen sich auf Addition und die Multiplikation mit zwei beschränken lässt. Dadurch kann dieser Rechenalgorithmus direkt in die Hardware der Grafikkarten implementiert werden.

Obwohl in den Rechentermen Potenzen auftreten, kann man diese umgehen. Hierfür betrachten wir den Ausdruck:

$n^2$

die zweite Binomische Formel liefert:

$(n - 1)^2 = n^2 - 2 \cdot n + 1 \ \Leftrightarrow n ^ 2 = ( n - 1)^2 + 2 \cdot n - 1$

durch rekursives Anwende dieser Formel, lassen sich Potenzen solange vereinfachen bis die Basis Eins erreicht ist und damit die Potenz verschwindet.

Multiplikation mit zwei
Eine Multiplikation mit der Zwei ist für einen Computer eine elementare Rechenoperation, da die sogenannte Shift Operation (Verrückungsoperation) durchgeführt werden kann.

Wir erinnern uns an die Darstellung von Zahlen im Binärsystem.

Wertigkeit der Stelle	2^7 = 128	2^6 = 64	2^5 = 32	2^4 = 16	2^3 = 8	2^2 = 4	2^1 = 2	2^0 = 1
Binärzahl	0	1	0	0	1	1	0	1

Hier wird die Zahl (im Dezimalsystem) dargestellt

$0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 77$

Multiplizerien wir nun mit zwei, so folgt:

$2 \cdot ( 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 ) = 154$

$\Leftrightarrow$

$0 \cdot 2^8 + 1 \cdot 2^7 + 0 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 = 154$

Also die Zahl 154 (Dezimal) in Binärdarstellung:

Wertigkeit der Stelle	2^7 = 128	2^6 = 64	2^5 = 32	2^4 = 16	2^3 = 8	2^2 = 4	2^1 = 2	2^0 = 1
Binärzahl	1	0	0	1	1	0	1	0

Vergleichen wir nun die Darstellung der Zahl 77 mit der Darstellung der Zahl 154, so fällt auf, dass durch die Multiplikation mit Zwei jedes Bit um eine Stelle nach links verschoben wurde.

Bresenham-Algortihmus für Graden

Bresenham-Algortihmus für Kreise

Wir denken uns für jeden Kreis den wir zeichnen, ein neues kartesisches Koordinatensystem, dessen Ursprung mit dem Mittelpunkt des Kreises zusammenfällt.

Unterscheidung für die einzlnen Achtel, da sich die Steigung kontinuierlich ändert.

Tangente am Kreis

"GeogebraAPP tangenteKreis"

Beachte beim durchlaufen von vielfachen von 45° über bzw unterschreitet der Betrag der Steigung den Wert 1.

Also bräuchte man für jedes Kreisachtel eine neue Gleichung.

Da bestimmte Kreisachtel (1tes und 5tes, 2tes und 6tes, 3tes und 7tes, 4tes und 8tes) punktsymmetrisch zueinander sind, kann man sich hier ein paar Gleichungen sparen.

Bild geogebra KreisachtelSymmetrie

Bresenham-Algorithmus (in Arbeit): Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 6. Januar 2013, 16:33 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Allgemeines zum Bresenham Algorithmus

Motivation des Algorithmus

Effektivität des Algorithmus

Bresenham-Algortihmus für Graden

Bresenham-Algortihmus für Kreise

Tangente am Kreis

Navigationsmenü

Meine Werkzeuge

Namensräume

Varianten

Ansichten

Aktionen

Suche

Navigation

Werkzeuge

@@ Zeile 99: / Zeile 99: @@
 Unterscheidung für die einzlnen Achtel, da sich die Steigung kontinuierlich ändert.
+==Tangente am Kreis==
+<ggb_applet width="1251" height="880"  version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
 "GeogebraAPP tangenteKreis"
 Beachte beim durchlaufen von vielfachen von 45° über bzw unterschreitet der Betrag der  Steigung den Wert 1.