Drehungen (2012 13): Unterschied zwischen den Versionen
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Die NAF zweier Geradenspiegelungen <math> S_g </math> und <math> S_h </math>, deren Spiegelachsen genau den Punkt Z gemeinsam haben, ist eine Drehung mit dem Drehzentrum Z und dem Drehwinkel <math> \alpha = 2 \cdot \angle (g,h)</math><br /><br /> | Die NAF zweier Geradenspiegelungen <math> S_g </math> und <math> S_h </math>, deren Spiegelachsen genau den Punkt Z gemeinsam haben, ist eine Drehung mit dem Drehzentrum Z und dem Drehwinkel <math> \alpha = 2 \cdot \angle (g,h)</math><br /><br /> | ||
<math> \rightarrow </math> aus den Sätzen 6.2 und 6.3 erhält man das Kriterium D1.<br /><br /> | <math> \rightarrow </math> aus den Sätzen 6.2 und 6.3 erhält man das Kriterium D1.<br /><br /> | ||
| + | '''Satz 6.4'''<br /> | ||
| + | Eine Drehung besitzt genau einen Fixpunkt.<br /> | ||
| + | <u>Tipp:</u> Beweise den Satz: Die NAF <math> S_h \circ S_g </math> zweier Geradenspiegelungen <math> S_g </math> und <math> S_h </math> für die gilt: g <math> \cap </math> h={Z} besitzt genau einen Fixpunkt.<br /><br /> | ||
| + | '''Satz 6.5'''<br /> | ||
| + | Jede von der Drehung mit 0°< |<math> \alpha </math>| <360° verschiedene Bewegung besitzt mehr oder weniger als genau einen Fixpunkt.<br /><br /> | ||
| + | <math> \rightarrow </math> aus den Sätzen 6.4 und 6.5 erhält man das Kriterium D2.<br /><br /> | ||
Version vom 9. Januar 2013, 13:07 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Definitionsmöglichkeiten
Definition 1
Unter einer Drehung 
um den Punkt Z mit dem Drehwinkel 
versteht man eine Abbildung 
der Ebene 
auf sich, für die gilt:
1. Z ist Fixpunkt bezüglich
2. 
mit 
und 
3. 
mit und
Die Definition entstand aus Vorüberlegungen.
Definition 2
Unter der Drehung um den Punkt Z mit dem Drehwinkel versteht man die NAF zweier Geradenspiegelungen 
und 
mit 
und 
Dieser Definition liegt ein Kriterium zugrunde:
Kriterium D1: Eine Bewegung ist genau dann eine Drehung , wenn die die NAF zweier Geradenspiegelungen und mit und ist.
Definition 3
Unter einer Drehung vertseht man eine Bewegung mit genau einem Fixpunkt.
Auch diese Definition basiert letztlich auf einem Kriterium (Zur Zeit bleibt noch zu beweisen: Eine Drehung ist die einzige Bewegung mit genau einem Fixpunkt.):
Kriterium D2: Eine Bewegung ist genau dann eine Drehung, wenn sie genau einen Fixpunkt besitzt.
--Jessy* 13:48, 12. Dez. 2012 (CET)
Konstruktion des Bildes eines Punktes bei einer Drehung
Es seien P und Z zwei verschiedene Punkte der Ebene und eine Drehung der Ebene mit dem Drehzentrum Z und dem Drehwinkel .
Drehungen als Bewegungen
Satz 6.1
Jede Drehung ist eine Bewegung.
Sätze zu Drehungen
Satz 6.2
Jede Drehung um das Drehzentrum Z mit dem Drehwinkel ist die NAF zweier Geradenspiegelungen 
und 
, deren Spiegelachsen nur das Drehzentrum Z gemeinsam haben und für deren Schnittwinkel 
gilt: 
Satz 6.3
Die NAF zweier Geradenspiegelungen und , deren Spiegelachsen genau den Punkt Z gemeinsam haben, ist eine Drehung mit dem Drehzentrum Z und dem Drehwinkel 
aus den Sätzen 6.2 und 6.3 erhält man das Kriterium D1.
Satz 6.4
Eine Drehung besitzt genau einen Fixpunkt.
Tipp: Beweise den Satz: Die NAF 
zweier Geradenspiegelungen und für die gilt: g 
h={Z} besitzt genau einen Fixpunkt.
Satz 6.5
Jede von der Drehung mit 0°< || <360° verschiedene Bewegung besitzt mehr oder weniger als genau einen Fixpunkt.
aus den Sätzen 6.4 und 6.5 erhält man das Kriterium D2.
