Serie 11 (WS 12 13): Unterschied zwischen den Versionen

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Beweisen Sie: <math>F_g</math> ist der Fußpunkt des Lotes von <math>P</math> auf <math>g</math>.
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Beweisen Sie: <math>F_g</math> ist der Fußpunkt des Lotes von <math>P</math> auf <math>g</math>.<br /><br />
  
 
[[Lösung Aufgabe 11.03 WS_12_13]]
 
[[Lösung Aufgabe 11.03 WS_12_13]]

Version vom 20. Januar 2013, 17:22 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 11.01

Formulieren Sie die Umkehrung des Basiswinkelsatzes.

Lösung Aufgabe 11.01 WS_12_13

Aufgabe 11.02

Es seien A, B, C drei nicht kollineare Punkte. Die Winkel \alpha=\angle CAB und \beta= \angle CBA seien kongruent zueinander.
Behauptung:

\overline{AC} \tilde= \overline{BC}


Ergänzen Sie den folgenden Beweis

(H) Hilfskonstruktion:

m_c sei die Mittelsenkrechte der Strecke \overline{AB}.
Begründung, dass die Hilfskonstruktion angewendet werden kann:
.................................................

Was wäre wenn

Wenn die Mittelsenkrechte m_c durch C gehen würde, wären die Strecken \overline{CA} und \overline{CB} kongruent zueinander.
Begründung hierfür:
..................................................

Was wäre wenn nicht

Annahme: C \not \in m_c


Nr. Beweischritt Begründung
(1) m_c schneidet o.B.d.A. \overline{CA} in einem Punkt, den wir c^* nennen wollen ...
(2) \overline{C^*A} \tilde= \overline{C^*B} ...
(3) \alpha \tilde= \angle C^*BA ...
(4) \beta \tilde= \alpha ...
(5) \beta \tilde= \angle C^*BA ...

Der Rest schreiben wir als kleinen Aufsatz:

Die beiden Winkel \beta und \angle C^*BA sind also nach der bisherigen Beweisführung kongruent bzw. haben dieselbe Größe.
Weil sie auch den Schenkel BA^+ gemeinsam haben und C und C^* in derselben Halbebene bzgl. AB liegen,
müssen die die Schenkel BC^+ und BC^{*+} nach dem ... identisch sein.
Wegen dieser Identität der beiden Strahlen BC^+ und BC^{*+} und weil C der Schnittpunkt von BC mit AC und C^{*} der Schnittpunkt von BC^* mit AC ist, sind ..... identisch.

Wegen dieser Identität geht die Mittelsenkrechte m_c durch den Punkt C. Wir haben uns schon überlegt, dass in diesem Fall \overline{AC} \tilde= \overline{BC} gilt. q.e.d.

Aufgabe 11.03

Es sei \alpha ein Winkel mit den Schenkeln g und h und dem Scheitel S. Ferner sei w die Winkelhalbierende von \alpha, also ein Strahl im Inneren von \alpha, der als Anfangspunkt S hat und \alpha in zwei kongruente Teilwinkel \alpha_1 und \alpha_2 teilt. Auf w sei ein beliebiger von S verschiedener Punkt P gegeben. F_g sei der Fußpunkt des Lotes von P auf h:



Wir konstruieren jetzt auf dem Schenkel h den Punkt F_g, indem wir auf h den Abstand |SF_g| abtragen:





Beweisen Sie: F_g ist der Fußpunkt des Lotes von P auf g.

Lösung Aufgabe 11.03 WS_12_13

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