Lösung von Aufgabe 12.02 WS 12 13: Unterschied zwischen den Versionen

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# Weil <math>m_b</math> Mittelsenkrechte von <math>b</math> bzw. <math>\overline{AC}</math> ist und <math>M</math> zu <math>m_b</math> gehört, gilt wegen dem Mittelsenkrechtenkriterium: <math>|AM|=|CM|</math>
 
# Weil <math>m_b</math> Mittelsenkrechte von <math>b</math> bzw. <math>\overline{AC}</math> ist und <math>M</math> zu <math>m_b</math> gehört, gilt wegen dem Mittelsenkrechtenkriterium: <math>|AM|=|CM|</math>
 
# Nach (1) und (2) ist wegen der Drittengleichheit ist nun <math>|AM|=|BM|</math> und damit <math>M</math> wegen des Mittelsenkrechtenkriteriums ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math>c</math>.
 
# Nach (1) und (2) ist wegen der Drittengleichheit ist nun <math>|AM|=|BM|</math> und damit <math>M</math> wegen des Mittelsenkrechtenkriteriums ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math>c</math>.
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===Was bleibt zu zeigen?===
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Wir sollten zeigen dass sich die Mittelsenkrechten in genau einem Punkt schneiden. Es bleibt also zu zeigen, dass <math>M</math> der einzige Punkt aller drei Mittelsenkrechten ist.
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===Wie fast immer, der Highlanderbeweis wird indirekt geführt===
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Annahme: Es existiert ein von <math>M</math> verschiedener Punkt <math>N</math> der zu allen drei Mittelsenkrechten gehört.
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Nach der Annahme wären alle unsere Mittelsenkrechten identisch. Warum? .................
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Jetzt ergibt sich folgender Widerspruch: .......
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<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->
 
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Version vom 30. Januar 2013, 16:48 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 12.02

Beweisen Sie: Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in genau einem Punkt.
Dass sich zwei Mittelsenkrechten eines Dreieck in genau einem Punkt schneiden dürfen Sie voraussetzen.



Lösung User ...

12.02.jpg --Yellow 21:12, 26. Jan. 2013 (CET) Hallo ich bin mir nicht sicher ob wir hier sagen dürfen dass S=Mittelpunkt ist. Aber kann man ja mit Mittelsenkrchtenkriterium begründen

Lösung User Caro44

Caro44 Dreieck drei drei.JPG

--Caro44 13:16, 30. Jan. 2013 (CET)


Frage Hauler

Stimmen mit Lösung von Caro44 überein. Frage die aufkam:

Wann nimmt man die Definition, wann nimmt man die Existenz und Eindeutigkeit ( in diesem Fall Mittelpunkt, Mittelsenkrechte), wann nimmt das Kriterium als Begründung?

Gedanken von uns: Im Beweis benutzen wir Definition nur, wenn Existenz und Eindeutigkeit bewiesen wurde. Kann man sich somit Existenz und Eindeutigkeit sparen und immer Definition schreiben? Weiter folgend kam diese Frage auch bei Definition oder Kriterium Mittelsenkrecht auf. Kriterium setzt sich ja aus beiden Definitionen zusammen!

--Hauleri 15:32, 30. Jan. 2013 (CET)

Bemerkungen --*m.g.* 16:25, 30. Jan. 2013 (CET)

Beide Lösungen sind verbesserungswürdig.

Wovon können wir ausgehen?
=

Wir haben ein Dreieck \overline{ABC} und irgendwer hat schon gezeigt, dass die Mittelsenkrechten m_a und m_b einander im Punkt M schneiden. Wir sollen jetzt zeigen, dass auch die dritte Mittelsenkrechte durch eben diesen Punkt geht. Dass jede Strecke genau eine Mittelsenkrechte hat, wissen wir bereits.

Was sollen wir zeigen

Behauptet wird, dass sich alle drei Mittelsenkrechten in genau einem Punkt schneiden. Zunächst zeiegen wir, dass sie sich in einem Punkt schneiden. Hierzu zeigen wir, dass auch die dritte Mittelsenkrechte m_c durch M geht. Wir müssen definitiv nicht zeigen, dass irgendeine Mittelsenkrechte überhaupt existiert. Wir müssen zeigen, dass die existierende Mittelsenkrechte m_c auch durch M geht. Anders ausgedrückt: Wir müssen zeigen, dass M zu m_c gehört.

Wie zeigen wir das

  1. Weil m_a Mittelsenkrechte von a bzw. \overline{BC} ist und M zu m_a gehört, gilt wegen dem Mittelsenkrechtenkriterium: |BM|=|CM|
  2. Weil m_b Mittelsenkrechte von b bzw. \overline{AC} ist und M zu m_b gehört, gilt wegen dem Mittelsenkrechtenkriterium: |AM|=|CM|
  3. Nach (1) und (2) ist wegen der Drittengleichheit ist nun |AM|=|BM| und damit M wegen des Mittelsenkrechtenkriteriums ein Punkt der Mittelsenkrechten von c.

Was bleibt zu zeigen?

Wir sollten zeigen dass sich die Mittelsenkrechten in genau einem Punkt schneiden. Es bleibt also zu zeigen, dass M der einzige Punkt aller drei Mittelsenkrechten ist.

Wie fast immer, der Highlanderbeweis wird indirekt geführt

Annahme: Es existiert ein von M verschiedener Punkt N der zu allen drei Mittelsenkrechten gehört.

Nach der Annahme wären alle unsere Mittelsenkrechten identisch. Warum? .................

Jetzt ergibt sich folgender Widerspruch: .......


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