Geraden 2012 13: Unterschied zwischen den Versionen

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Ist in der Ebene von einer Geraden ein Punkt P und ihr Normalenvektor bekannt, so wird diese hierdurch eindeutig beschrieben.
 
Ist in der Ebene von einer Geraden ein Punkt P und ihr Normalenvektor bekannt, so wird diese hierdurch eindeutig beschrieben.
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Sei <math> /vec{r} </math> ein beliebiger Ortsvektor auf der Geraden g, da der Normalenvektor <math> \vec{n} </math> senkrecht zu der Geraden <math> \vec{r} </math> steht, so steht <math> \vec{n} </math> auch senkrecht zu jedem anderen Vektor <math> \vec{r}- \vec{a} </math> der Geraden g.
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Da der Normalenvektor <math> \vec{n} </math> senkrecht zu der Geraden <math> \vec{r} </math> steht, so steht <math> \vec{n} </math> auch senkrecht zu jedem anderen Vektor <math> \vec{r}- \vec{a} </math> der Geraden g.
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Version vom 4. Februar 2013, 18:36 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Der Normalenvektor

Definition des Normalenvektors

Sei g eine Gerade. Ein Vektor \ \vec{n} \ heisst genau dann Normalenvektor von g, wenn \ \vec{n}\ senkrecht zu der Geraden g steht.

Der Punkt A an dem sich ein Normalenvektor mit der Geraden schneidet, wird auch Aufpunkt genannt.



Skizze eines Normalenvektors

Eigenschaften des Normalenvektors

Sei g eine Gerade mit \ \ g = \vec{s} + \lambda \cdot \vec{r} \ und \vec{n} der Normalenvektor auf g , mit s =\begin{pmatrix} s_1 \\ s_2 \end{pmatrix}, \ r =\begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \end{pmatrix},\ n =\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \end{pmatrix}.

E1:\ \ \ \vec{n} \cdot \vec{r} = 0

E2:\ \ \ n =\begin{pmatrix} -r_2 \\ r_1 \end{pmatrix}
E3: Im Raum gibt es unendlich viele Normalenvektoren zu einer Gerade g und einem Aufpunkt A.


Ist in der Ebene von einer Geraden ein Punkt P und ihr Normalenvektor bekannt, so wird diese hierdurch eindeutig beschrieben. Sei /vec{r} ein beliebiger Ortsvektor auf der Geraden g, da der Normalenvektor \vec{n} senkrecht zu der Geraden \vec{r} steht, so steht \vec{n} auch senkrecht zu jedem anderen Vektor \vec{r}- \vec{a} der Geraden g.


Hesseform

(Otto Hesse, deutscher Mathematiker, von 1811-1874)

Die Punktenormalengleichung

Eine Möglichkeit ist es Geraden mit Hilfe von zwei Vektoren darzustellen. Hierfür wir zum einen ein Stützvektor, zum anderen ein Richtungsvektor benötigt.

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