Pfeilklassen: Unterschied zwischen den Versionen

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iv) <math>(\lambda + \mu)\cdot \vec{u}=\lambda \cdot \vec{u} + \mu \cdot \vec{u}</math> (2.Distributivgesetz)
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[[Kategorie:Linalg]]

Aktuelle Version vom 23. Mai 2013, 14:16 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Pfeilklassen

Definition

Pfeil \vec{AB}
Es seien A und B zwei (nicht notwendigerweise) verschiedene Punkte. Der Pfeil \vec{AB} ist das geordnete Paar (A,B). A heißt Anfangspunkt des Pfeils \vec{AB}, B heißt Endpunkt des Pfeils \vec{AB}. Jedem Pfeil ist eine Punktmenge zugehörig, Es handelt sich dabei um die Menge der Punkte der Strecke \overline{AB}. Sollte der Anfangspunkt eines Pfeils mit dem Endpunkt dieses Pfeils zusammenfallen spricht man vom Nullpfeil \vec{o}. Zwei Pfeile \vec{AB} und \vec{CD} haben einen Punkt gemeinsam falls ihre Punktmengen einen Punkt gemeinsam haben.


Definition

Zwei Pfeile \vec{AB} und \vec{CD} heißen parallelgleich, wenn gilt:

  1. |AB|=|CD|
  2. AB \|| CD
  3. \vec{AB} und \vec{CD} sind gleichorientiert.


Satz

Die Relation parallelgleich ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Pfeile des Raumes bzw. der Ebene.

D.h. \vec{a} ist parallelgleich(\sim) zu \vec{b}, wenb gilt:
a) Reflexivität: \vec{a} \sim \vec{a}
b) Symmetrie: \vec{a} \sim \vec{b} \Rightarrow \vec{b} \sim \vec{a}
c) Transitivität: \vec{a} \sim \vec{b} \wedge \vec{b} \sim \vec{c}\Rightarrow \vec{a} \sim \vec{c}


Definition

Eine Pfeilklasse ist eine Äquivalenzklasse bzgl der Äquivalenzrelation parallelgleich,
d.h, mit der Pfeilklasse \vec{u} bezeichnet man die Menge aller zu dem Pfeil \vec{u} parallelgleicen Pfeile der Ebene bzw. des Raumes:
\vec{u}=\left\{\vec{x}| \vec{x} \sim \vec{u}\right\}

Rechenregeln der Addition von Pfeilklassen

Für beliebige Pfeilklassen \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} gilt:

i) \vec{u},\vec{v} gilt \vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u} (Kommuntativität der Addition)

ii) \vec{u},\vec{v}, \vec{w} \in V gilt (\vec{u}+\vec{v})+ \vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}+ \vec{w}) (Assoziativität der Addition)

iii) Es existiert eine Pfeilklasse \vec{0}, sodass gilt \vec{u}+ \vec{0}= \vec{u} (neutrales Element bzgl. der Addition, Nullpfeilklasse)

iv) Zu jedem \vec{u} existiert ein -\vec{u} mit \vec{u}+ (-\vec{u})= \vec{o} (inverses Element)


Rechenregeln der Multiplikation von Pfeilklassen mit Skalaren

Für beliebige Pfeilklassen \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} und beliebige \lambda, \mu \in \mathbb{R} gilt:

i) 1\cdot\vec{u} =\vec{u} (Neutrales Element bzgl. der Multiplikation)

ii) (\lambda \cdot \mu)\cdot \vec{u}= \lambda\cdot(\mu\cdot \vec{u}) (Assoziativität der Multiplikation von Vektoren mit reelen Zahlen)

iii)\lambda \cdot (\vec{u}+\vec{v})=\lambda \cdot \vec{u} +\lambda \cdot \vec{v} (1.Distributivgesetz)

iv) (\lambda + \mu)\cdot \vec{u}=\lambda \cdot \vec{u} + \mu \cdot \vec{u} (2.Distributivgesetz)

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