Elementare Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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<iframe scrolling="no" title="Steigung 2" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/xgwNhxDq/width/1246/height/621/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1246px" height="621px" style="border:0px;"> </iframe>
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* Das Verhältnis der beiden Katheten eines beliebigen Steigungsdreieck ein und derselben linearen Funktion ist immer gleich.  
 
* Das Verhältnis der beiden Katheten eines beliebigen Steigungsdreieck ein und derselben linearen Funktion ist immer gleich.  
 
* Jedes Steigungsdreick ist ein rechtwinkliges Dreieck.  
 
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* Alle Steigungsdreiecke einer Funktion sind ähnlich.
  
  
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Gegeben seien zwei Punkte:
  
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'''''mehr folgt in Kürze, ich muss erst herausfinden, wie ich die ganzen Herleitungen darstellen kann mit Wiki. Frage: Wie schreibt man Brüche?! Bei mir wird mit "\frac" immer eine Fehlermeldung angezeigt.'''''
 
  
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Nach <code>\frac</code> braucht man zwei paar geschweifter Klammern (je eins für Zähler und Nenner), dann müsste es funktionieren:
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<math>\frac{1}{2 + \sqrt{x+\log_2{y}}} + \sum_{i=1}^{n}{i}</math>
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<math>P_1(x_1, f(x_1))</math>   und   <math>P_2(x_2, f(x_2))</math>
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<math>a=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}</math>
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<math>a=\frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}</math>
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<math>\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}= \frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}</math>                                          | <math>\cdot{(x-x_1)}</math> <math>+f(x_1)</math>
  
 
==Anstieg bei zueinander senkrechten Funktionsgraphen==
 
==Anstieg bei zueinander senkrechten Funktionsgraphen==

Version vom 12. April 2017, 19:52 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Die Idee zur Prüfungsvorbereitung: Umstrukturieren des Bekannten

Beispiel: Quadratische Funktion / Schräger Wurf

Eingangsgrößen

Abwurfhöhe ~~~h_0
Abwurfgeschwindigkeit (Betrag) ~~~v_0
Abwurfwinkel ~~~\alpha

Herleitung der Vektorgleichung

x-Komponente

Die Bewegung in x-Richtung wird nur durch den entsprechenden Anteil der Anfangsgeschwindigkeit bewirkt:
v_x=v_0 \cdot \cos \alpha \Rightarrow x = v_0 \cdot \cos \alpha \cdot t

y-Komponente

Es addieren sich:

  1. y-Komponente der Anfangsgeschwindigkeit: v_y=v_0 \cdot \sin \alpha \Rightarrow y_w = v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t
  2. Fallbewegung nach unten: y_f=\frac{g}{2}t^2
  3. Damit y=v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t - \frac{g}{2}t^2
  4. Ortsvektor der Punktmasse in Abhängigkeit der Zeit: P(t)=\begin{pmatrix} v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t - \frac{g}{2}t^2 \\ v_0 \cdot \cos \alpha \cdot t \end{pmatrix}

Experimentierumgebung

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Experimentieraufgaben

Die Punktmasse P möge bei gegebener Abwurfhöhe h_0 bei x=18m auftreffen. Es gibt hierfür genau zwei Lösungen, welche?

Umstrukturierung

Bekannterweise ist der Graph der Vektorfunktion (I) P(t)=\begin{pmatrix} v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t - \frac{g}{2}t^2 \\ v_0 \cdot \cos \alpha \cdot t \end{pmatrix} eine Parabel mit der Funktionsgleichung (II) y=ax^2+bx+c. Entwickeln Sie aus der Vektorfunktion (I) die in der Schule übliche Gleichung (II).

Der Funktionsbegriff

Elemente der Mengenlehre

Kreuzprodukt zweier Mengen

Es seien M und N zwei nicht leere Mengen.
Unter dem Kreuzprodukt MxN versteht man die mnge aller geordenten Paare (a,b) mit a aus M und b aus N.

M \times N := \{(a,b)|a \in M, b \in N\}
y=x^2

Relationen

Ordnungsrelationen

Äquivalenzrelationen

Funktionen als spezielle Relationen

Links-rechts eindeutig-total.svg

Linkstotal

\forall a\in A : \exists b\in B : (a,b)\in R

Rechtseindeutig

\forall a\in A : \forall b_1,b_2\in B : (a,b_1)\in R \wedge (a,b_2) \in R \Rightarrow b_1 = b_2

Eineindeutige Funktionen

Umkehrfunktion

Lineare Funktionen

proportionale Funktionen

nichtproportionale lineare Funktionen

Steigung

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  • Das Verhältnis der beiden Katheten eines beliebigen Steigungsdreieck ein und derselben linearen Funktion ist immer gleich.
  • Jedes Steigungsdreick ist ein rechtwinkliges Dreieck.
  • Alle Steigungsdreiecke einer Funktion sind ähnlich.


Satz: Durch zwei beliebige voneinander verschiedene Punkte (x_1, f(x_1)) und (x_2, f(x_2)) wird eindeutig die Gleichung einer linearen Funktion bestimmt.


Gegeben seien zwei Punkte:


P_1(x_1, f(x_1)) und P_2(x_2, f(x_2))


a=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}


a=\frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}


\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}= \frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1} | \cdot{(x-x_1)} +f(x_1)

Anstieg bei zueinander senkrechten Funktionsgraphen

ax+by+c=0

quadratische Funktionen

Parabeln

Parabel als Ortskurve

Parabel als Funktion

Scheitelpunktslage

auf x-Achse verschoben

mit beliebigem Vektor verschoben

Winkelfunktionen

Sinus und Kosinus im rechtwinkligen Dreieck

Sinus und Kosinus am Einheitskreis

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Graphen der Funktionen sin und cos

Spezielle Funktionswerte

30°

45°

60°

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