Mathematische Aussagen

Beispiele

Primzahlen

Es lassen sich z.B. die folgenden Aussagen zu Primzahlen machen:

Aussage	Wahrheitswert
Die Zahl ist eine Primzahl.	wahr
Die Zahl ist eine Primzahl.	falsch
Es gibt unendlich viele Primzahlen.	wahr
Es gibt genauso viele Primzahlen wie es natürliche Zahlen gibt.	wahr.

Keine Aussage zu Primzahlen ist:

Jede natürlich Zahl, die nur durch sich selbst und durch 1 teilbar ist, heißt Primzahl.

Wichtige Sätze der Schulgeometrie

Sätze sind Aussagen, die wahr sind. Eine Aussage, die nicht wahr ist, kann demzufolge auch kein Satz sein.

• Innenwinkelsatz für Dreiecke: Die Innenwinkelsumme eines jeden Dreiecks ist gleich der Größe eines gestreckten Winkels.
• Satz des Pythagoras: In rechtwinkligen Dreiecken ist die Summe der Quadrate der Katheten gleich dem Quadrat der Hypotenuse.
• Starker Außenwinkelsatz: Jeder Außenwinkel eines Dreiecks ist so groß wie die Summe der beiden nichtanliegenden Innenwinkel des Dreiecks.
• Basiswinkelsatz: Wenn ein Dreieck gleichschenklig ist, dann sind seine Basiswinkel kongruent zueinander.

Ergänzen Sie durch eigene Sätze, die Sie noch aus der Schule kennen:

• .....
• .....
• .....

Begriff der Aussage

Ein sauber Definition des Begriffs mathematische Aussage bleibt uns hier versagt, es reichen intuitive Vorstellungen der folgenden Art:

• Eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde, welche zur Beschreibung und Mitteilung von Sachverhalten dienen. (Kleine Enzyklopädie Mathematik. VEB Bibliographisches Institut Leipzig)(1983).

Bei einer mathematischen Aussage setzt man zwei Prinzipien voraus:

• Das Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten: Eine Aussage ist wahr (1) oder falsch (0).
• Das Prinzip vom ausgeschlossenen Widerspruch: Eine Aussage kann nicht gleichzeitig wahr und falsch sein.

Beide Prinzipien zusammengefasst:

• Eine mathematische Aussage ist entweder wahr oder falsch.

Weitere Beispiele und Gegenbeispiele für Aussagen

Ergänzen Sie die folgende Tabelle:

keine Aussage	Aussage
Gründonnerstag	Gründonnerstag regnet es immer.
Ab jetzt heißt Raider Twix.	Im Januar hat man festgelegt, dass Raider Twix heißt.
Die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl ziehen.	Die Quadratwurzel aus einer nagativen Zahl in in nicht definiert.
Konstruiere einen Kreis.	ihr Beispiel
ihr Beispiel	ihr Beispiel

Die Negation einer Aussage

Beispiele

Aussage	Negation der Aussage
ist Primzahl	ist keine Primzahl
Die Eisernen steigen auf.	Die Eisernen steigen nicht auf.
Die Hose ist grün.	Die Hose ist nicht grün.
Bier schmeckt gut.	Bier schmeckt nicht gut.
ihr Beispiel	ihr Beispiel

Wahrheitswerttabelle

Wenn eine Aussage ist, dann ist es üblich, mit die Negation von zu kennzeichnen.

wahr	falsch
falsch	wahr

Hinweis: Die LaTex-Syntax für das Zeichen ist \neg.

Verknüpfung zweier Aussagen

Das logische und

Die Idee

Zwei Aussagen und lassen sich durch ein logisches und zu einer Aussage zusammenfassen.

Beispiel Teilbarkeit von Summen

Wenn und , dann .
Voraussetzung :
Voraussetzung :
Zusammenfassung zu einer Voraussetzung: .

Wahrheitswertabelle

wahr	wahr	wahr
wahr	falsch	falsch
falsch	wahr	falsch
falsch	falsch	falsch

Die Verknüpfung zweier Aussagen durch ein logisches und ist genau dann wahr, wenn beide Aussagen wahr sind.

Das logische oder

Die Idee

Zwei Aussagen lassen sich durch ein logisches oder zu einer Aussage zusammenfassen.

Wahrheitswerttabelle

wahr	wahr	wahr
wahr	falsch	wahr
falsch	wahr	wahr
falsch	falsch	falsch

Die Verknüpfung zweier Aussagen ist genau dann falsch, wenn beide Aussagen falsch sind.
Hinweis: Das logische oder entspricht nicht dem allgemeinen Sprachgebrauch in der Umgangsprache. Umgangssprachlich ist das oder ein entweder oder (exklusives oder).

Wahrheitswerttabelle entweder oder

exklusives oder

wahr	wahr	falsch
wahr	falsch	wahr
falsch	wahr	wahr
falsch	falsch	falsch