Lösung von Aufgabe 12.1: Unterschied zwischen den Versionen
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− | + | = Der schwache Außenwinkelsatz = | |
− | + | == Aufgabenstellung == | |
Überprüfen Sie Ihr Verständnis: Ist Schritt 2.a im Beweis des schwachen Außenwinkelsatzes wirklich nötig? Wenn ja warum? | Überprüfen Sie Ihr Verständnis: Ist Schritt 2.a im Beweis des schwachen Außenwinkelsatzes wirklich nötig? Wenn ja warum? | ||
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− | + | <br /><br /> Hier nochmal: der Beweisschritt 2a, die Bezeichnungen wurden angepasst, bzw. stimmen mit der Skizze nun überein. | |
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Das offene Innere von <math>\ \beta^'</math> ist der Schnitt zweier offener Halbebenen <math>\ AB,C^- \cap \ CB,A^+</math>.<br /> | Das offene Innere von <math>\ \beta^'</math> ist der Schnitt zweier offener Halbebenen <math>\ AB,C^- \cap \ CB,A^+</math>.<br /> | ||
Der Punkt <math>\ P</math> würde gerade dann nicht im Inneren des Winkels <math>\beta^'</math> liegen,wenn er | Der Punkt <math>\ P</math> würde gerade dann nicht im Inneren des Winkels <math>\beta^'</math> liegen,wenn er | ||
− | # in Halbenbene <math>\ | + | # in Halbenbene <math>\ AB,C^+</math> <br />oder<br /> |
# in der Halbebene <math>\ CB,A^-</math> <br />liegen würde. | # in der Halbebene <math>\ CB,A^-</math> <br />liegen würde. | ||
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Da die beiden Geraden <math>\ CB</math> und <math>\ CP</math> identisch sind und die nichtidentischen Geraden <math>\ g</math> und <math>\ AB</math> maximal einen Punkt gemeinsam haben können, <br />müssen die beiden Punkte <math>\ M</math> und <math>\ B</math> identisch sein.<br /> | Da die beiden Geraden <math>\ CB</math> und <math>\ CP</math> identisch sind und die nichtidentischen Geraden <math>\ g</math> und <math>\ AB</math> maximal einen Punkt gemeinsam haben können, <br />müssen die beiden Punkte <math>\ M</math> und <math>\ B</math> identisch sein.<br /> | ||
Letzteres ist ein Widerspruch zur Wahl von <math>\ M</math>.<math>\ M</math> ist nämlich der Mittelpunkt von <math>\ \overline{AB}</math>.<br /><br /> | Letzteres ist ein Widerspruch zur Wahl von <math>\ M</math>.<math>\ M</math> ist nämlich der Mittelpunkt von <math>\ \overline{AB}</math>.<br /><br /> | ||
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+ | == Lösung 1 == | ||
+ | Ja, der Fall, dass <math>P \in CB</math> muss durchdacht werden, da die Lage des Punktes <u>theoretisch</u> überall im Schnittpunkt der Halbebenen ligen kann. Wenn man den zweiten Teil des Beweises (ohne Hilfskonstruktion) betrachtet, ist die (mögliche) Lage von <math>P</math> nicht sofort ersichtlich. | ||
+ | <br />Allerdings kann man auch begründen: Nein, man muss den Fall nicht aufführen, da es trivial ist, die Lage von <math>P auf CB</math> zu widerlegen. Man kann es sich bildlich so vorstellen, dass <math>P</math> mithilfe des Mittelpunktes der Strecke <math>\overline {AB}</math> konstruiert wurde und deshalb - sollte <math>P \in CB</math> sein - die Strahlen <math>CA^+ CM^+ und CB^+}</math> identisch seien. |
Version vom 11. Juli 2010, 23:06 Uhr
Der schwache Außenwinkelsatz
Aufgabenstellung
Überprüfen Sie Ihr Verständnis: Ist Schritt 2.a im Beweis des schwachen Außenwinkelsatzes wirklich nötig? Wenn ja warum?
Der schwache Außenwinkelsatz
Hier nochmal: der Beweisschritt 2a, die Bezeichnungen wurden angepasst, bzw. stimmen mit der Skizze nun überein.
Das offene Innere von ist der Schnitt zweier offener Halbebenen
.
Der Punkt würde gerade dann nicht im Inneren des Winkels
liegen,wenn er
- in Halbenbene
oder
- in der Halbebene
liegen würde.
zu 1.
Als Punkt der Halberaden (Konstruktion von
) kann
nicht mit
auf ein und derselben Seite bezüglich
liegen.
zu 2.
2.a
Annahme:
In diesem Fall würde gelten:
. (Begründung mittels Inzidenzaxiomen ist jetzt nicht mehr nötig.) Wir wollen uns darauf einigen die Gerade
mit
zu bezeichnen.
Die Gerade hat mit der Geraden
genau einen Punkt gemeinsam, den Punkt
.
Die Gerade hat mit der Geraden
genau einen Punkt gemeinsam, den Punkt
.
Da die beiden Geraden und
identisch sind und die nichtidentischen Geraden
und
maximal einen Punkt gemeinsam haben können,
müssen die beiden Punkte und
identisch sein.
Letzteres ist ein Widerspruch zur Wahl von .
ist nämlich der Mittelpunkt von
.
Lösung 1
Ja, der Fall, dass muss durchdacht werden, da die Lage des Punktes theoretisch überall im Schnittpunkt der Halbebenen ligen kann. Wenn man den zweiten Teil des Beweises (ohne Hilfskonstruktion) betrachtet, ist die (mögliche) Lage von
nicht sofort ersichtlich.
Allerdings kann man auch begründen: Nein, man muss den Fall nicht aufführen, da es trivial ist, die Lage von zu widerlegen. Man kann es sich bildlich so vorstellen, dass
mithilfe des Mittelpunktes der Strecke
konstruiert wurde und deshalb - sollte
sein - die Strahlen Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): CA^+ CM^+ und CB^+}
identisch seien.