Axiome der Winkelmessung SoSe 2017: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 18. Juni 2017, 17:07 Uhr

Inhaltsverzeichnis

1 Das Winkelmaß
- 1.1 Was bedeutet es, die Größe eines Winkels zu messen?
- 1.2 Das Winkelmaßaxiom
  - 1.2.1 Axiom IV.1 (Winkelmaßaxiom)
  - 1.2.2 Definition V.5: (Größe eines Winkels)
2 Winkelkonstruktion
- 2.1 Existenz und Eindeutigkeit des Winkelantragens
  - 2.1.1 Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom)
3 Winkeladdition
4 Rechte Winkel
5 Die Relation Senkrecht auf der Menge der Geraden

Das Winkelmaß

Was bedeutet es, die Größe eines Winkels zu messen?

Länge einer Strecke	Größe eines Winkels
nichtnegative reelle Zahl	reelle Zahl zwischen 0 und 180

Das Winkelmaßaxiom

Axiom IV.1 (Winkelmaßaxiom)

Zu jedem Winkel $\ \alpha$ gibt es genau eine reelle Zahl $\ \omega$ zwischen 0 und 180.

Definition V.5: (Größe eines Winkels)

Die Zahl $\ \omega$ , die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel $\ \alpha$ eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von $\ \alpha$ genannt.
In Zeichen: $\omega = \left| \alpha \right|$ .

Winkelkonstruktion

Existenz und Eindeutigkeit des Winkelantragens

Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom)

Es sei $g \equiv SA$ eine Gerade in der Ebene $\varepsilon$ . Zu jeder reellen Zahl $\omega$ mit $0 < \omega < 180$ gibt es in jeder der beiden durch $g$ bestimmten Halbebenen der Ebene $\varepsilon$ genau einen Strahl $SB^+$ mit $\omega = \left| \angle ASB \right|$

Winkeladdition

Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)

Satz V.2

Wenn der Punkt $\ P$ im Inneren des Winkels $\ \angle ASB$ und nicht auf einem der Schenkel des Winkels $\ \angle ASB$ liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel $\ \angle ASP$ und $\ \angle PSB$ jeweils kleiner als die Größe des Winkels $\ \angle ASB$ .

Beweis von Satz V.2

Vor.: $P$ im inneren $\angle ASB$
$P\not\in \ SB^{+} \wedge P\not\in \ SA^{+}$
Beh.: $\left|\angle ASP \right|< \left|\angle ASB\right| \wedge \left|\angle BSP \right|< \left|\angle ASB\right|$

Versuchen Sie es selbst!

Rechte Winkel

Definition V.6 : (Rechter Winkel)

Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.

Definition V.7 : (Supplementärwinkel)

Zwei Winkel heißen supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.

Axiom IV.4: (Supplementaxiom)

Nebenwinkel sind supplementär.

Satz V.3 : (Existenz von rechten Winkeln)

Wenn ein Winkel die Größe 90 hat, dann ist er ein rechter Winkel.

Beweis von Satz V.3

Das können Sie selbst!

Satz V.4 :

Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

Beweis von Satz V.4 :

Das können Sie selbst!

Die Relation Senkrecht auf der Menge der Geraden

Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden)

Es seien $\ g$ und $\ h$ zwei Geraden. Wenn sich $\ g$ und $\ h$ schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden $\ g$ und $\ h$ senkrecht aufeinader.

In Zeichen: $\ g \perp \ h$ (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)

Bemerkung: Testen Sie ob die Definition korrekt ist: Warum muss nicht gefordert werden, dass die beiden Geraden komplanar sind?

Definition V.9 : (noch mehr Senkrecht)

Eine Gerade $\ g$ und eine Strecke $\overline{AB}$ stehen senkrecht aufeinander, wenn die $\ g$ und die Gerade $\ AB$ senkrecht aufeinander stehen.

Ergänzen Sie:

Eigenschaften der Relation senkrecht

Satz V.5: (Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten zu einer Geraden auf einem Punkt dieser Geraden)

Es sei $\ g$ eine Gerade der Ebene $\ \epsilon$ . Ferner sei $\ P$ ein Punkt auf $\ g$ . In der Ebene $\ \epsilon$ gibt es genau eine Gerade $\ s$ , die durch $\ P$ geht und senkrecht auf $\ g$ steht.

Beweis von Satz V.5

Übung

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
+<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
+{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
+| valign="top" |
 == Das Winkelmaß ==
 === Was bedeutet es, die Größe eines Winkels zu messen? ===
@@ Zeile 101: / Zeile 105: @@
 ===== Beweis von Satz V.5 =====
 Übung
-[[Category:Einführung_Geometrie]]
+<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->
+|}
+</div>
+[[Kategorie:Einführung_S]]