Version vom 9. Juli 2018, 12:58 Uhr

Inhaltsverzeichnis

1 Linksinvers gleich Rechtsinvers
- 1.1 Satz 1
- 1.2 Beweis von Satz 1
2 Linkseins gleich Rechtseins
- 2.1 Satz 2
- 2.2 Beweis von Satz 2
3 Verkürzte Gruppendefinition
- 3.1 Definition 5: Gruppe (verkürzte Schreibweise)

Linksinvers gleich Rechtsinvers

Satz 1

Es sei $[G, \odot]$ eine Gruppe.
$\forall a \in G: a \odot b = e \land c \odot a = e \Rightarrow b=c$

Beweis von Satz 1

Es sei $b$ das Linksinverse bzgl. $\odot$ von $a$ .
Wir multiplizieren $b$ von rechts mit $a$ :

(I)	$a \odot b = e \odot a \odot b$	(Wir haben $a$ mit $b$ von rechts multipliziert
(II)	$a \odot b = (b^{-1} \odot b)\odot a \odot b$	(Auch $b$ hat ein Linksinverses $b^{-1}$
(III)	$a \odot b = b^{-1} \odot (b\odot a) \odot b$	(Assoziativität)
(IV)	$a \odot b = b^{-1} \odot e \odot b$	( $b$ ist das Linksinverse von $a$ )
(V)	$a \odot b = b^{-1} \odot b$	(Eigenschaften des Einselements)
(VI)	$a \odot b = e$	( $b^{-1}$ ist das Linksinverse von $b$

Mit Gleichung (VI) haben wir gezeigt, dass das Linksinverse von $a$ auch Rechtsinverses von $a$ ist.

Linkseins gleich Rechtseins

Satz 2

Es sei $[G, \otimes]$ eine Gruppe. Wenn $e \in G$ von links multipliziert Einselement von $[G, \otimes]$ ist, dann ist $e$ auch von rechts multipliziert Einselement von $G$ .

Beweis von Satz 2

Es sei $[G, \otimes]$ Gruppe. Es gelte ferner für das Element $e \in G$ die folgende Eigenschaft: $\forall g \in G: e \otimes g = g$ .
Wir haben zu zeigen, dass jetzt auch $g \otimes e = g$ für alle $g$ aus $G$ gilt.
Wir gehen von $(I) e \otimes g = g$ .
In Gleichung $(I)$ multiplizieren wir von rechts auf beiden Seiten mit $g^{-1}\otimes g$ und erhalten $(II)$ .
$(II) e \otimes g \otimes (g^{-1}\otimes g) = g \otimes (g^{-1}\otimes g)$ .
Aus $(II)$ folgt:
$(III) e \otimes g = g \otimes e$ q,e.d.

Verkürzte Gruppendefinition

Wegen der Gültigkeit von Satz 1 und Satz 2 können wir unsere Gruppendefinition kürzer schreiben:

Definition 5: Gruppe (verkürzte Schreibweise)

Eine nichtleere Menge $G$ zusammen mit einer Verknüpfung $\oplus$ heißt Gruppe, wenn gilt:

$\oplus$ ist abgeschlossen auf $G$ : $\forall a, b \in G: a \oplus b \in G$
$\oplus$ ist assoziativ auf $G$ : $\forall a, b, c \in G: (a \oplus b) \oplus c = a \oplus (b \oplus c)$
Es gibt in $G$ bzgl. $\oplus$ ein neutrales Element $n$ : $\exists n \in G \forall a \in G: a \oplus n = a$
Jedes Element aus $G$ hat in $G$ ein inverses Element bzgl. $\oplus$ : $\forall a \in G \exists -a \in G: a \oplus -a= n$ .

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 Eine nichtleere Menge <math>G</math> zusammen mit einer Verknüpfung <math>\oplus</math> heißt Gruppe, wenn gilt:
 # <math>\oplus</math> ist abgeschlossen auf <math>G</math>: <math>\forall a, b \in G: a \oplus b \in G</math>
-# <math>\oplus</math> ist assoziativ auf <math>G</math>:  <math>\forall a, b, c: (a \oplus b) \oplus a = a \oplus (b \oplus c)</math>
+# <math>\oplus</math> ist assoziativ auf <math>G</math>:  <math>\forall a, b, c \in G: (a \oplus b) \oplus c = a \oplus (b \oplus c)</math>
 # Es gibt in <math>G</math> bzgl. <math>\oplus</math> ein neutrales Element <math>n</math>: <math>\exists n \in G \forall a \in G: a \oplus n =  a</math>
 # Jedes Element aus <math>G</math> hat in <math>G</math> ein inverses Element bzgl. <math>\oplus</math>: <math>\forall a \in G \exists -a \in G: a \oplus -a= n</math>.

Gruppendefinition (kurz): Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 9. Juli 2018, 12:58 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Linksinvers gleich Rechtsinvers

Satz 1

Beweis von Satz 1

Linkseins gleich Rechtseins

Satz 2

Beweis von Satz 2

Verkürzte Gruppendefinition

Definition 5: Gruppe (verkürzte Schreibweise)

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