Umkehrung von Implikationen SoSe 2018: Unterschied zwischen den Versionen

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<math>m=3n</math> leistet das Verlangte:<br />
 
<math>m=3n</math> leistet das Verlangte:<br />
 
<math>3 \cdot m = 3 \cdot (3 \cdot n) = (3 \cdot 3) \cdot n = 9 \cdot n = a </math>.
 
<math>3 \cdot m = 3 \cdot (3 \cdot n) = (3 \cdot 3) \cdot n = 9 \cdot n = a </math>.
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===Umkehrung: Aus der Teilbarkeit durch 3 folgt die Teilbarkeit durch 9===
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Wenn eine Zahl durch <math>3</math> teilbar ist, dann ist sie auch durch <math>9</math> teilbar.<br />
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Voraussetzung der Umkehrung: <math>3 \mid a</math><br />
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Behauptung der Umkehrung: <math>9 \mid a</math><br />
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Die Umkehrung einer Implikation ist selbst wieder eine Implikation. <br />
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Die Aussage ''Wenn eine Zahl durch <math>3</math> teilbar ist, dann ist sie auch durch <math>9</math> teilbar.'' ist wie die Implikation, aus der sie durch Umkehrung entstand, eine Allaussage:<br />
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<math>\forall a \in \mathbb{Z}: 3 \mid a \Rightarrow 9 \mid a</math><br />
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Nun gibt es ganze Zahlen wie etwa <math>666</math> ([https://www.youtube.com/watch?v=WxnN05vOuSM the number of the biest]), die sowohl durch <math>3</math> als auch durch <math>9</math> teilbar sind. Weil aber z.B. <math>66</math> zwar durch <math>3</math>, aber nicht durch <math>9</math> teilbar ist, muss die Umkehrung unserer Ausgangsimplikation keine wahre Aussage.
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Version vom 28. April 2018, 13:41 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Allgemein

Wir betrachten die Implikation a \Rightarrow b.
Die Implikation b \Rightarrow a ist die Umkehrung der Implikation a \Rightarrow b.
Wir vertauschen also die Rolle von Voraussetzung und Behauptung der Ausgangsimplikation.
Beide Implikationen, Ausgangsimplikation und zugehörige Umkehrung, müssen nicht zwangsläufig denselben Wahrheitsgehalt haben.

Beispiele

Beispiel 1 Teilbarkeit

Implikation: Aus der Teilbarkeit durch 9 folgt die Teilbarkeit durch 3

Wenn eine Zahl 9 ein Teiler von a ist, dann ist 3 auch ein Teiler von a.
Voraussetzung: 9 \mid a
Behauptung: 3 \mid a
Die Implikation ist wahr, wie der folgende Beweis zeigt:
Wir übersetzten die Voraussetzung: 9 \mid a
bedeutet: \exists n \in \mathbb{Z}: n \cdot 9 = a.
Wir übersetzen die Behauptung: 3 \mid a bedeutet: \exists m \in \mathbb{Z}: 3 \cdot m= a.

Unter der Voraussetzung, dass eine ganze Zahl n existiert, die mit 9 multipliziert a ergibt, müssen wir also zeigen, dass es eine ganze Zahl m gibt, die mit 3 multipliziert a ergibt.

m=3n leistet das Verlangte:
3 \cdot m = 3 \cdot (3 \cdot n) = (3 \cdot 3) \cdot n = 9 \cdot n = a .

Umkehrung: Aus der Teilbarkeit durch 3 folgt die Teilbarkeit durch 9

Wenn eine Zahl durch 3 teilbar ist, dann ist sie auch durch 9 teilbar.
Voraussetzung der Umkehrung: 3 \mid a
Behauptung der Umkehrung: 9 \mid a
Die Umkehrung einer Implikation ist selbst wieder eine Implikation.
Die Aussage Wenn eine Zahl durch 3 teilbar ist, dann ist sie auch durch 9 teilbar. ist wie die Implikation, aus der sie durch Umkehrung entstand, eine Allaussage:
\forall a \in \mathbb{Z}: 3 \mid a \Rightarrow 9 \mid a
Nun gibt es ganze Zahlen wie etwa 666 (the number of the biest), die sowohl durch 3 als auch durch 9 teilbar sind. Weil aber z.B. 66 zwar durch 3, aber nicht durch 9 teilbar ist, muss die Umkehrung unserer Ausgangsimplikation keine wahre Aussage.





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