Allgemeine lineare Gleichung mit drei Variablen: Unterschied zwischen den Versionen

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Die Lösungsmenge unserer Ausgangsgleichung <math>2x+\frac{3}{5}y+0z=1</math> ist damit eine Ebene, die senkrecht auf der  
 
Die Lösungsmenge unserer Ausgangsgleichung <math>2x+\frac{3}{5}y+0z=1</math> ist damit eine Ebene, die senkrecht auf der  
 
<math>x-y-</math>Ebene steht und mit der <math>x-y-</math>Ebene die Gerade <math>y=-\frac{10}{3}x+\frac{5}{3}</math> gemeinsam hat.
 
<math>x-y-</math>Ebene steht und mit der <math>x-y-</math>Ebene die Gerade <math>y=-\frac{10}{3}x+\frac{5}{3}</math> gemeinsam hat.
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Version vom 9. Mai 2018, 12:59 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Allgemeine lineare Gleichung ax + by + cz = d

\begin{align} ax+by+cz=d \\ a, b, c, d \in \mathbb{R} \\ x, y, z \in \mathbb{R}, \end{align}

Grafische Veranschaulichung der Lösungsmenge einer Gleichung vom Typ ax+by+cz=d

Gerade?

Es seien a, b, c, d \in \mathbb{R} , beliebig aber fest, a, b, c nicht gleichzeitig 0,
x,y,z \in \mathbb{R}, variabel.
Wir untersuchen die Gleichung
ax+by+cz=d
Die Lösungsmenge einer Gleichung vom Typ ax+by=c ließ sich die Koordinaten der Punkte einer Geraden im \mathbb{R}^2 interpretieren. Man mag schnell geneigt sein, die Lösungsmenge der Gleichung ax+by+cz=d alsdie Koordinaten einer Geraden im Raum \mathbb{R}^3 zu interpretieren. Dem ist aber nicht so:

Spezialfall: zwei der Koeffizieneten, a, b, c sind gleich 0

Sei etwa nur der Koeffizient a verschieden von 0. In diesem Fall vereinfacht sich unsere Gleichung zu ax=d. Umgestellt nach x ergibt sich x=\frac{d}{a}. Alle geordneten Tripel \left (\frac{d}{a}, y, z \right ) aus dem \mathbb{R}^3 genügen damit unserer Gleichung.
Unklar? Wir können die Gleichung auch als ax+0y+0z=d bzw. x + 0y + 0z = \frac{d}{a} schreiben.
Die Lösungsmenge dieser Gleichung lässt sich als die Koordinatentripel der Punkte einer Ebene \varepsilon interpretieren, die parallel zu einer der Koordinatenebene ist:

  • Die Lösungsmenge der Gleichung 2x + 0y+ 0z = 3 sind die Koordinatentripel aller Punkte der Ebene, die parallel zur y-z-Ebene ist und durch den Punkt mit den Koordinaten \left ( \frac{3}{2} \right ) geht.
  • Die Lösungsmenge der Gleichung 0x +\frac{3}{7}y + 0z= \frac{5}{3} sind die Koordinatentripel aller Punkte der Ebene, die parallel zur x-z-Ebene ist und durch den Punkt mit den Koordinaten \left ( 0, \frac{35}{9} \right ) geht.
  • Die Lösungsmenge der Gleichung 0x + 0y + \pi z = 0 ist die x-y-Ebene.

Spezialfall: einer der drei Koeffizienten a, b, c ist gleich 0

Beispiel 1
  • z=0
  • a=2
  • c=\frac{3}{5}
  • d=1

Unsere Gleichung lautet für dieses Beispiel 2x+\frac{3}{5}y+0z=1
Die Bestimmung der Lösungsmenge dieser Gleichung vereinfacht sich zunächst zu einem ebenen Problem:
2x+\frac{3}{5}y=1 Die Lösungsmenge dieser vereinfachten Gleichung ist eine Gerade in der x-y-Ebene. Im konkreten Fall handelt es sich um die Gerade mit der Gleichung 2x+\frac{3}{5}y=1 bzw. mit der Gleichung y=-\frac{10}{3}x+\frac{5}{3}.
Die Lösungsmenge unserer Ausgangsgleichung 2x+\frac{3}{5}y+0z=1 ist damit eine Ebene, die senkrecht auf der x-y-Ebene steht und mit der x-y-Ebene die Gerade y=-\frac{10}{3}x+\frac{5}{3} gemeinsam hat.

Allgemeiner Fall: jeder der Koeffizienten a, b, c ist verschieden von 0

Ebene!

Satz:

Die Gleichung (II) ax+by+cz=d beschreibt die Menge aller Punkte einer Ebene im \mathbb{R}^3.
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