Serie 4: größere LSG lösen SoSe 2018: Unterschied zwischen den Versionen

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Gegeben seien die folgenden Punkte <math>A,B,C,D,E,F,H</math>:<br />
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\begin{matrix}
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A &=& \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}
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B &=& \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}
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C &=& \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}
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D &=& \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \\
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E &=& \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
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F &=& \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
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G &=& \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}
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H &=& \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}
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Wir betrachten einen Würfel mit den Eckpunkten <math>A,B,C,D,E,F,G,H</math>.<br />
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(a) Beschreiben Sie die Flächen dieses Würfels mittels Gleichungen vom Typ <math>ax+by+cz=d</math>.<br />
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(b) Beschreiben Sie die Geraden, die durch die Kanten des Würfels eindeutig bestimmt sind als Lösungsmenge jeweils eines Gleichungssystems.
  
 
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Version vom 13. Mai 2018, 13:14 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 4.1 SoSe 2018

Es seien \varepsilon_x, \varepsilon_y, \varepsilon_z drei Ebenen im \mathbb{R}^3, die genau den Punkt S=(\pi,e,\sqrt{2}) gemeinsam haben.
Ferner gelte:

  • \varepsilon_x ist parallel zur y-z-Ebene,
  • \varepsilon_y ist parallel zur x-z-Ebene,
  • \varepsilon_z ist parallel zur x-y-Ebene.


Beschreiben Sie die drei Ebenen \varepsilon_x, \varepsilon_y, \varepsilon_z mittels Gleichungen vom Typ ax+by+cz=d.

Aufgabe 4.2 SoSe 2018

Geben Sie ein lineares Gleichungssystem vom Typ
\begin{matrix} a_{11}x &+& a_{12}y &+& a_{13}z &=& b_1 \\ a_{21}x &+& a_{22}y &+& a_{23}z &=& b_2 \\ a_{31}x &+& a_{32}y &+& a_{33}z &=& b_3 \end{matrix}
an, bei dem keiner der Koeffizienten Null ist und das die Lösungsmenge L=\{(\pi,e,\sqrt{2})\} hat.

Aufgabe 4.3 SoSe 2018

Beschreiben Sie die Gerade g:=\{P \vert P=A+t \overrightarrow{r}, t \in \mathbb{R} \} für \overrightarrow{r}:=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} und A:=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} als Lösungsmenge eines Gleichungssystems vom Typ
\begin{matrix} a_{11}x &+& a_{12}y &+& a_{13}z &=& b_1 \\ a_{21}x &+& a_{22}y &+& a_{23}z &=& b_2 \end{matrix}.

Aufgabe 4.5 SoSe 2018

Lösen Sie das folgende LGS, indem Sie es auf Diagonalenform bringen:
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & \vert & 2 \\ 3 & 5 & 4 & \vert & 4 \\ -2 & 1 & 4 & \vert & 3 \end{pmatrix}
Da es um das Anwenden des Verfahrens geht, hier die Lösungsmenge:
\begin{pmatrix} 1 & ~ & ~ & \vert & -3 \\ ~ & 1 & ~ & \vert & 4 \\ ~ & ~& 1 & \vert & -\frac{7}{4} \end{pmatrix}

Aufgabe 4.6 SoSe 2018

Lösen Sie das folgende LGS, indem Sie es auf Diagonalenform bringen:
\begin{pmatrix} 15 & 3 & 7 & \vert & 10 \\ -4 & -10 & 4 & \vert & 4 \\ -2 & 1 & 2 & \vert & 11 \end{pmatrix}
Da es um das Anwenden des Verfahrens geht, hier die Lösungsmenge:
\begin{pmatrix} 1 & ~ & ~ & \vert & -\frac{111}{88} \\ ~ & 1 & ~ & \vert & \frac{3}{2} \\ ~ & ~& 1 & \vert & \frac{307}{88} \end{pmatrix}

Aufgabe 4.7 SoSe 2018

Gegeben seien die folgenden Punkte A,B,C,D,E,F,H:
\begin{matrix} A &=& \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} B &=& \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} C &=& \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} D &=& \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \\ E &=& \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} F &=& \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} G &=& \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} H &=& \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{matrix}

Wir betrachten einen Würfel mit den Eckpunkten A,B,C,D,E,F,G,H.

(a) Beschreiben Sie die Flächen dieses Würfels mittels Gleichungen vom Typ ax+by+cz=d.
(b) Beschreiben Sie die Geraden, die durch die Kanten des Würfels eindeutig bestimmt sind als Lösungsmenge jeweils eines Gleichungssystems.

Aufgabe 4.8 SoSe 2018

Aufgabe 4.9 SoSe 2018

Aufgabe 4.10 SoSe 2018

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