Lösung von Aufgabe 10.5P (WS 18/19): Unterschied zwischen den Versionen

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Vor: P'' = S<sub>a</sub> <math>\circ </math> S<sub>b</sub> (P) und <math>| \angle ASB |</math> = 90° mit A ε a und B ε b; Beh: |PS| = |SP''| mit S ε PP''<br />
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Vor: P" = S<sub>a</sub> <math>\circ </math> S<sub>b</sub> (P) und <math>| \angle ASB |</math> = 90° mit A ε a und B ε b; Beh: |PS| = |SP''| mit S ε PP"<br />
 
1.) S<sub>a</sub> (P) = P' und S<sub>b</sub> (P') = <math>P''</math> '''- Vor., Verkettung von Geradenspiegelungen'''<br />
 
1.) S<sub>a</sub> (P) = P' und S<sub>b</sub> (P') = <math>P''</math> '''- Vor., Verkettung von Geradenspiegelungen'''<br />
 
2.) <math>| \angle PSP'' |</math> = 2<math>| \angle ASB |</math> '''- 1.), Beweis aus 10.2'''<br />
 
2.) <math>| \angle PSP'' |</math> = 2<math>| \angle ASB |</math> '''- 1.), Beweis aus 10.2'''<br />

Version vom 11. Januar 2019, 22:20 Uhr

Beweisen Sie Satz IX.3: Bei einer Punktspiegelung ist der Schnittpunkt S der beiden Spiegelgeraden a und b Mittelpunkt der Strecke \overline{PP''}, mit P''=S_a\circ S_b(P) .


Vor: P" = Sa \circ Sb (P) und | \angle ASB | = 90° mit A ε a und B ε b; Beh: |PS| = |SP| mit S ε PP"
 1.) Sa (P) = P' und Sb (P') = P'' - Vor., Verkettung von Geradenspiegelungen
2.) | \angle PSP'' | = 2| \angle ASB | - 1.), Beweis aus 10.2
3.) | \angle PSP'' | = 2 × 90° = 180° - Vor., 2.)
4.) P,S,P'' sind kollinear => S ε PP - 3.)
 5.) |PS| = |P'S| und |P'S| = |SP''| - 1.), Längenerhaltung
6. |PS| = |SP''| - 5.)
7.) Zw (P,S,P) - 4.), 6.), Zwischenrelation
 => S liegt auf \overline{PP''} und ist von beiden Endpunkten gleich weit entfernt, die Behauptung ist bewiesen.--CIG UA (Diskussion) 22:12, 20. Dez. 2018 (CET)

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