Lösung von Aufgabe 11.1P (SoSe 20): Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 27. Juli 2020, 10:06 Uhr

Beweisen Sie Satz IX.4: Bei einer Punktspiegelung werden Geraden stets auf parallele Bildgeraden abgebildet.

Voraussetzung: Punktspiegelung einer Geraden g

Behauptung: g parallel zu g

Zusatz: a und b sind die Spiegelgeraden der Punktspiegelung mit: $a \cap b = S$ und $a \cap g = P$ und $b \cap g = E$

	Beweisschritt	Begründung
1)	$S_a\circ S_b(g)=g''$	Geradentreue der Geradenspiegelung, Def. Punktspiegelung
2)	$S_a\circ S_b(P)=P'' \wedge S_a\circ S_b(E)=E''$	Def. Punktspiegelung, S ist Fixpunkt
3)	$\|< PSE\| = \|< P''SE''\|=\|< ab\|$	Winkelmaßerhaltung der Geradenspiegelung, 2), Zusatz
4)	$\| PS \| = \| P''S \| \wedge \| ES \| = \| E''S \|$	Eigenschaft Punktspiegelung, 2)
5)	$g'' \cap a=P'' \wedge g'' \cap b=E''$	1), 2), 3), Eigenschaft Geradenspiegelung, Zusatz
6)	$g\|\| g''$	3), 4), 5)

--tgksope (Diskussion) 10:58, 25. Jul. 2020 (CEST)

Der Beweis geht kürzer:

Voraussetzung: Punktspiegelung  mit  und a  
Behauptung: g || g

	Beweisschritt	Begründung
1)	Drehen a und b mit festen S und festen Drehwinkel so, dass a II b	Punktspiegelung
2)	$S_a(g)=g'$ $, g' \|\| g$	Parallelentreue, 1), Vor., Def. Geradenspiegelung
3)	$S_b(g')=g'' = g'$	Def. Fixgerade, Vor.
4)	$g \|\| g''$	2), 3), Transitivität der Parallelenrelation

--Tutorin Laura (Diskussion) 11:06, 27. Jul. 2020 (CEST)

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 | 5)|| <math>g'' \cap a=P'' \wedge g'' \cap b=E''</math>|| 1), 2), 3), Eigenschaft Geradenspiegelung, Zusatz
 |-
-| 6)|| <math>g|  | g''</math>|| 3), 4), 5)
+| 6)|| <math>g|| g''</math>  || 3), 4), 5)
 |}
 --[[Benutzer:Kohlhoffj|tgksope]] ([[Benutzer Diskussion:Kohlhoffj|Diskussion]]) 10:58, 25. Jul. 2020 (CEST)
+ Der Beweis geht kürzer:
+ Voraussetzung: Punktspiegelung <math>S_a\circ S_b</math> mit <math> a \cap b = \lbrace S \rbrace</math> und a <math>\perp b </math>
+ Behauptung: g || g''
+ {| class="wikitable"
+ |-
+ ! !! Beweisschritt!! Begründung
+ |-
+ | 1)|| Drehen a und b mit festen S und festen Drehwinkel so, dass a II b  || Punktspiegelung
+ |-
+ | 2)|| <math>S_a(g)=g' </math><math>, g' || g</math> || Parallelentreue, 1), Vor., Def. Geradenspiegelung
+ |-
+ | 3)|| <math> S_b(g')=g'' = g' </math>|| Def. Fixgerade, Vor.
+ |-
+ | 4)|| <math>g || g''</math> || 2), 3), Transitivität der Parallelenrelation
+ |-
+ |}
+ --[[Benutzer:Tutorin Laura|Tutorin Laura]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Laura|Diskussion]]) 11:06, 27. Jul. 2020 (CEST)
 [[Kategorie:Geo_P]]