Lösung von Aufg. 7.4: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 16. Dezember 2010, 15:40 Uhr

Beweisen Sie: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte.

Vor: Ebene $\epsilon$
, nkomp(A,B,C,D)
Beh: $\epsilon$ enthält weinigstens drei paarweise verschiedene Punkte

Fall 1:
3 der vier Punkte liegen in der Ebene $\epsilon$ $\rightarrow$ trivial

Fall 2:
2 der vier Punkte liegen in der Ebene $\epsilon$
$A \in\epsilon$ , $B \in\epsilon$
1) $A \in\epsilon$ , $B \in\epsilon$ , $C \notin\epsilon$ und $D \notin\epsilon$
2) $\operatorname{nkoll} \left( ABC \right)$ $\rightarrow$ $\delta_1$ ________Lemma 3 und Axiom I/4
3) $D \notin\delta_1$ __________________wegen nkomp(A,B,C,D)
4) $\operatorname{nkoll} \left( BCD \right)$ $\rightarrow$ $\delta_2$ ___________3)
5) $A \notin\delta_2$ ________________wegen nkomp(A,B,C,D)
6) $A \in\delta_2$ und $B \in\epsilon$ ____________2) und 4)
7) $\exists P$ , $P \in\epsilon$ , $A \in\delta_2$ ________6) und Axiom I/6

bleibt zu zeigen : $A\not\equiv P$
$\delta_1$ : $P \in\delta_1$ , $B \in\delta_1$ , $C \in\delta_1$
$\delta_2$ : $P \in\delta_2$ , $C \in\delta_2$ , $B \in\delta_2$
daraus folgt $\delta_1$ $\equiv$ $\delta_1$ $\rightarrow$ komp(A,B,C,D)
8) Widerspruch zur Vorraussetzung nkomp(A,B,C,D)

Fall 4:
Keine der vier Punkte ist Element von $\epsilon$
$\epsilon$ enthält einen Punkt________nach Axiom I/4
$\rightarrow$ Fall 3

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
 Beweisen Sie: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte.<br />
-<u>Vor:</u> Ebene <math>\epsilon</math><br />, nkomp(A,B,C,D)
+<u>Vor:</u> Ebene <math>\epsilon</math><br />, nkomp(A,B,C,D)<br />
 <u>Beh:</u> <math>\epsilon</math> enthält weinigstens drei paarweise verschiedene Punkte<br />

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